Un QCM type bac de géométrie dans l'espace (1)

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.

Énoncé n°1 : Réponse c.

On considère les points $A(1;0;3)$ et $B(4;1;0).$
Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est : $\left\lbrace\begin{matrix}x=1+3t\\y=t\phantom{xxxx}\\z=3-3t\end{matrix}\right.\quad\text{avec }t\in\R.$

Déterminons une représentation paramétrique de la droite $(AB).$

Un vecteur directeur de $(AB)$ est le vecteur $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4-1\\1-0\\0-3\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\1\\-3\end{pmatrix}$
Le point $A(1\;;\;0\;;\;3)$ appartient à la droite $(AB).$

D'où, une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est : $\left\lbrace\begin{matrix}x=1+3\times t\phantom{XX}\\y=0+1\times t\phantom{XX}\\z=3+(-3)\times t\end{matrix}\right.\quad\quad(t\in\R)$
soit $\boxed{(AB):\left\lbrace\begin{matrix}x=1+3t\\y=t\phantom{xxxx}\\z=3-3t\end{matrix}\right.\quad\quad(t\in\R)}$

La proposition c. est donc correcte.

On considère la droite $(d)$ de représentation paramétrique $\left\lbrace\begin{matrix}x=3+4t\\y=6t\phantom{xxx}\\z=4-2t\end{matrix}\right.\quad\quad \text{avec } t\in\R.$

Énoncé n°2 : Réponse d.

Le point $R(-3;-9;7)$ appartient à la droite $(d).$

Vérifions qu'il existe une valeur de $t$ vérifiant le système suivant : $\left\lbrace\begin{matrix}-3=3+4t\\-9=6t\phantom{xxx}\\7=4-2t\end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix}-3=3+4t\\-9=6t\phantom{xxx}\\7=4-2t\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}4t=-6\\6t=-9\\2t=-3\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}t=-\dfrac64\\t=-\dfrac96\\t=-\dfrac32\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{t=-\dfrac32}$

Il existe donc une valeur de $t$ vérifiant le système.
Par conséquent, le point $R(-3;-9;7)$ appartient à la droite $(d).$
Dès lors, la proposition d. est correcte.

Énoncé n°3 : Réponse b.

On considère la droite $(d')$ de représentation paramétrique $\left\lbrace\begin{matrix}x=-2+3k\\y=-1-2k\\z=1+k\phantom{xx}\end{matrix}\right.$ avec $k\in\R.$
Les droites $(d)$ et $(d')$ sont non coplanaires.

Les droites $(d)$ et $(d')$ ont pour vecteurs directeurs respectifs $\overrightarrow{u_d}\,\begin{pmatrix}4\\6\\-2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{u_{d'}}\,\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}$

Manifestement, ces vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.
Dès lors, les droites $(d)$ et $(d')$ ne sont ni parallèles, ni confondues.

Elles sont donc soit sécantes, soit non coplanaires.

Pour le déterminer, résolvons le système $\left\lbrace\begin{matrix}3+4t=-2+3k\\6t=-1-2k\\4-2t=1+k\phantom{xx}\end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix}3+4t=-2+3k\\6t=-1-2k\phantom{xxx}\\4-2t=1+k\phantom{xx}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}3+4t=-2+3k\\6t=-1-2k\\k=3-2t\end{matrix}\right.$
$\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}3+4t=-2+3(3-2t)\\6t=-1-2(3-2t)\phantom{xx}\\k=3-2t\end{matrix}\right.$
$\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}3+4t=7-6t\\6t=-7+4t\\k=3-2t\end{matrix}\right.$

$\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}10t=4\phantom{WW}\\2t=-7\phantom{xx}\\k=3-2t\end{matrix}\right.$
$\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}t=\dfrac25\phantom{WW}\\t=-\dfrac72\phantom{W}\\k=3-2t\end{matrix}\right.$

Or $\dfrac25\neq-\dfrac72.$

Le système n'admet donc pas de solution et par suite, les droites $(d)$ et $(d')$ ne sont pas sécantes.
D'où, les droites $(d)$ et $(d')$ sont non coplanaires.
La proposition b. est donc correcte.

Énoncé n°4 : Réponse a.

On considère le plan $(P)$ passant par le point $I\,(2;\,1;\,0)$ et perpendiculaire à la droite $(d).$
Une équation du plan $(P)$ est : $2x + 3y - z - 7 = 0.$

Le plan $(P)$ est perpendiculaire à la droite $(d).$
Or la droite $(d)$ admet pour vecteur directeur le vecteur $\overrightarrow{u_d}\,\begin{pmatrix}4\\6\\-2\end{pmatrix}.$

Dès lors, une équation du plan $(P)$ est de la forme $4x+6y-2z+d=0.$

Le point $I\,(2;\,1;\,0)$ appartient au plan $(P).$
Nous obtenons alors : $4\times2+6\times1-2\times0+d=0\quad\Longleftrightarrow\quad 14+d=0\quad\Longleftrightarrow\quad d=-14.$

Par conséquent, une équation du plan $(P)$ est : $4x+6y-2z-14=0$ ou encore, en divisant les deux membres par $2$ :

$\boxed{(P):2x+3y-z-7=0}$

La proposition a. est donc correcte.