Épreuve ultime

Un QCM type bac de géométrie dans l'espace (1)

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Énoncé

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

Les cinq questions sont indépendantes.

L’espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i→,j→,k→)(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}).

  1. On considère les points A(1;0;3)A(1;0;3) et B(4;1;0)B(4;1;0).
    Une représentation paramétrique de la droite (AB)(AB) est :

a. {x=3+ty=1z=−3+3t\left\lbrace\begin{matrix}x=3+t\\y=1\\z=-3+3t\end{matrix}\right.\quad avec t∈Rt\in\R

b. {x=1+4ty=tz=3\left\lbrace\begin{matrix}x=1+4t\\y=t\\z=3\end{matrix}\right.\quad avec t∈Rt\in\R

c. {x=1+3ty=tz=3−3t\left\lbrace\begin{matrix}x=1+3t\\y=t\\z=3-3t\end{matrix}\right.\quad avec t∈Rt\in\R

d. {x=4+ty=1z=3−3t\left\lbrace\begin{matrix}x=4+t\\y=1\\z=3-3t\end{matrix}\right.\quad avec t∈Rt\in\R

On considère la droite (d)(d) de représentation paramétrique
{x=3+4ty=6tz=4−2t\left\lbrace\begin{matrix}x=3+4t\\y=6t\\z=4-2t\end{matrix}\right.\quad avec t∈Rt\in\R.

  1. Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite (d)(d) ?

a. M(7;6;6)M(7;6;6)
b. N(3;6;4)N(3;6;4)
c. P(4;6;−2)P(4;6;-2)
d. R(−3;−9;7)R(-3;-9;7)

  1. On considère la droite (d’)(d’) de représentation paramétrique
    {x=−2+3ky=−1−2kz=1+k\left\lbrace\begin{matrix}x=-2+3k\\y=-1-2k\\z=1+k\end{matrix}\right.\quad avec k∈Rk\in\R.

Les droites (d)(d) et (d’)(d’) sont :

a. sécantes
b. non coplanaires
c. parallèles
d. confondues

  1. On considère le plan (P)(P) passant par le point I(2;1;0)I(2;1;0) et perpendiculaire à la droite (d)(d). Une équation du plan (P)(P) est :

a. 2x+3y−z−7=02x+3y-z-7=0
b. −x+y−4z+1=0-x+y-4z+1=0
c. 4x+6y−2z+9=04x+6y-2z+9=0
d. 2x+y+1=02x+y+1=0

Révéler le corrigé

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i→,j→,k→)(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}).

Énoncé n°1 : Réponse c.

On considère les points A(1;0;3)A(1;0;3) et B(4;1;0).B(4;1;0).
Une représentation paramétrique de la droite (AB)(AB) est : {x=1+3ty=txxxxz=3−3tavec t∈R.\left\lbrace\begin{matrix}x=1+3t\\y=t\phantom{xxxx}\\z=3-3t\end{matrix}\right.\quad\text{avec }t\in\R.

Déterminons une représentation paramétrique de la droite (AB).(AB).

Un vecteur directeur de (AB)(AB) est le vecteur AB→(4−11−00−3)⟹AB→(31−3)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4-1\\1-0\\0-3\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\1\\-3\end{pmatrix}
Le point A(1  ;  0  ;  3)A(1\;;\;0\;;\;3) appartient à la droite (AB).(AB).

D'où, une représentation paramétrique de la droite (AB)(AB) est : {x=1+3×tXXy=0+1×tXXz=3+(−3)×t(t∈R)\left\lbrace\begin{matrix}x=1+3\times t\phantom{XX}\\y=0+1\times t\phantom{XX}\\z=3+(-3)\times t\end{matrix}\right.\quad\quad(t\in\R)
soit (AB):{x=1+3ty=txxxxz=3−3t(t∈R)\boxed{(AB):\left\lbrace\begin{matrix}x=1+3t\\y=t\phantom{xxxx}\\z=3-3t\end{matrix}\right.\quad\quad(t\in\R)}

La proposition c. est donc correcte.

On considère la droite (d)(d) de représentation paramétrique {x=3+4ty=6txxxz=4−2tavec t∈R.\left\lbrace\begin{matrix}x=3+4t\\y=6t\phantom{xxx}\\z=4-2t\end{matrix}\right.\quad\quad \text{avec } t\in\R.

Énoncé n°2 : Réponse d.

Le point R(−3;−9;7)R(-3;-9;7) appartient à la droite (d).(d).

Vérifions qu'il existe une valeur de tt vérifiant le système suivant : {−3=3+4t−9=6txxx7=4−2t\left\lbrace\begin{matrix}-3=3+4t\\-9=6t\phantom{xxx}\\7=4-2t\end{matrix}\right.

{−3=3+4t−9=6txxx7=4−2t⟺{4t=−66t=−92t=−3⟺{t=−64t=−96t=−32⟺t=−32\left\lbrace\begin{matrix}-3=3+4t\\-9=6t\phantom{xxx}\\7=4-2t\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}4t=-6\\6t=-9\\2t=-3\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}t=-\dfrac64\\t=-\dfrac96\\t=-\dfrac32\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{t=-\dfrac32}

Il existe donc une valeur de tt vérifiant le système.
Par conséquent, le point R(−3;−9;7)R(-3;-9;7) appartient à la droite (d).(d).
Dès lors, la proposition d. est correcte.

Énoncé n°3 : Réponse b.

On considère la droite (d′)(d') de représentation paramétrique {x=−2+3ky=−1−2kz=1+kxx\left\lbrace\begin{matrix}x=-2+3k\\y=-1-2k\\z=1+k\phantom{xx}\end{matrix}\right. avec k∈R.k\in\R.
Les droites (d)(d) et (d′)(d') sont non coplanaires.

Les droites (d)(d) et (d′)(d') ont pour vecteurs directeurs respectifs ud→ (46−2)\overrightarrow{u_d}\,\begin{pmatrix}4\\6\\-2\end{pmatrix} et ud′→ (3−21)\overrightarrow{u_{d'}}\,\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}

Manifestement, ces vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.
Dès lors, les droites (d)(d) et (d′)(d') ne sont ni parallèles, ni confondues.

Elles sont donc soit sécantes, soit non coplanaires.

Pour le déterminer, résolvons le système {3+4t=−2+3k6t=−1−2k4−2t=1+kxx\left\lbrace\begin{matrix}3+4t=-2+3k\\6t=-1-2k\\4-2t=1+k\phantom{xx}\end{matrix}\right.

{3+4t=−2+3k6t=−1−2kxxx4−2t=1+kxx⟺{3+4t=−2+3k6t=−1−2kk=3−2t\left\lbrace\begin{matrix}3+4t=-2+3k\\6t=-1-2k\phantom{xxx}\\4-2t=1+k\phantom{xx}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}3+4t=-2+3k\\6t=-1-2k\\k=3-2t\end{matrix}\right.
WWWWWWWW⟺{3+4t=−2+3(3−2t)6t=−1−2(3−2t)xxk=3−2t\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}3+4t=-2+3(3-2t)\\6t=-1-2(3-2t)\phantom{xx}\\k=3-2t\end{matrix}\right.
WWWWWWWW⟺{3+4t=7−6t6t=−7+4tk=3−2t\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}3+4t=7-6t\\6t=-7+4t\\k=3-2t\end{matrix}\right.

WWWWWWWW⟺{10t=4WW2t=−7xxk=3−2t\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}10t=4\phantom{WW}\\2t=-7\phantom{xx}\\k=3-2t\end{matrix}\right.
WWWWWWWW⟺{t=25WWt=−72Wk=3−2t\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}t=\dfrac25\phantom{WW}\\t=-\dfrac72\phantom{W}\\k=3-2t\end{matrix}\right.

Or 25≠−72.\dfrac25\neq-\dfrac72.

Le système n'admet donc pas de solution et par suite, les droites (d)(d) et (d′)(d') ne sont pas sécantes.
D'où, les droites (d)(d) et (d′)(d') sont non coplanaires.
La proposition b. est donc correcte.

Énoncé n°4 : Réponse a.

On considère le plan (P)(P) passant par le point I (2; 1; 0)I\,(2;\,1;\,0) et perpendiculaire à la droite (d).(d).
Une équation du plan (P)(P) est : 2x+3y−z−7=0.2x + 3y - z - 7 = 0.

Le plan (P)(P) est perpendiculaire à la droite (d).(d).
Or la droite (d)(d) admet pour vecteur directeur le vecteur ud→ (46−2).\overrightarrow{u_d}\,\begin{pmatrix}4\\6\\-2\end{pmatrix}.

Dès lors, une équation du plan (P)(P) est de la forme 4x+6y−2z+d=0.4x+6y-2z+d=0.

Le point I (2; 1; 0)I\,(2;\,1;\,0) appartient au plan (P).(P).
Nous obtenons alors : 4×2+6×1−2×0+d=0⟺14+d=0⟺d=−14.4\times2+6\times1-2\times0+d=0\quad\Longleftrightarrow\quad 14+d=0\quad\Longleftrightarrow\quad d=-14.

Par conséquent, une équation du plan (P)(P) est : 4x+6y−2z−14=04x+6y-2z-14=0 ou encore, en divisant les deux membres par 22 :

(P):2x+3y−z−7=0\boxed{(P):2x+3y-z-7=0}

La proposition a. est donc correcte.

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