Un QCM type bac de géométrie dans l'espace (2)

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O~;~\vec i~,~\vec j~,~\vec k)~.$

On considère :

• les points $A~(-3~;~1~;~4)$ et $B~(1~;~5~;~2)$ ;
• le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne $4x+4y-2z+3=0$ ;
• la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est : $\left\lbrace\begin{matrix} x=-6+3t\\y=1,~t\in\R\\z=9-5t\end{matrix}\right.$

Affirmation 1 : Les droites $(AB)$ et $(d)$ sont sécantes non perpendiculaires.
Réponse a.

Montrons que les droites $(AB)$ et $(d)$ sont sécantes.

Un vecteur directeur de la droite $(AB)$ est le vecteur $\overrightarrow{AB}.$

$\left\lbrace\begin{matrix} A(-3~;~1~;~4)\\ B(1~;~5~;~2) \end{matrix}\right. \quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1+3\\5-1\\2-4\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix}}$

La droite $(AB)$ passe par le point $A~(-3~;~1~;~4)~.$
Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est : $\left\lbrace\begin{matrix} x=-3+4k\\y=1+4k,~k\in\R\\z=4-2k\end{matrix}\right.$

Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est : $\left\lbrace\begin{matrix} x=-6+3t\\y=1,~t\in\R\\z=9-5t\end{matrix}\right.$

Résolvons le système : $\left\lbrace\begin{matrix} -3+4k=-6+3t\\1+4k=1\\4-2k=9-5t\end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} -3+4k=-6+3t\\1+4k=1\\4-2k=9-5t\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} -3t+4k=-3\\4k=0\\5t-2k=5\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} -3t+4k=-3\\k=0\\5t-2k=5\end{matrix}\right.$

$\phantom{\left\lbrace\begin{matrix} -3+4k=-6+3t\\1+4k=1\\4-2k=9-5t\end{matrix}\right.}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} -3t=-3\\k=0\\5t=5\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix} t=1\\k=0\\t=1\end{matrix}\right.$

$\phantom{\left\lbrace\begin{matrix} -3+4k=-6+3t\\1+4k=1\\4-2k=9-5t\end{matrix}\right.}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\left\lbrace\begin{matrix} k=0\\t=1\end{matrix}\right.}$

Le système admet une solution unique et par suite, les droites $(AB)$ et $(d)$ sont sécantes.

Montrons que les droites $(AB)$ et $(d)$ ne sont pas perpendiculaires.

Un vecteur directeur de la droite $(AB)$ est le vecteur $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix}$

Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est le vecteur $\overrightarrow{d}\begin{pmatrix}3\\0\\-5\end{pmatrix}~.$

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{u}=4\times3+4\times0-2\times(-5)$

$\phantom{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{u}}=12+10$

$\phantom{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{u}}=22$

$\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{u}\neq 0}$

Nous en déduisons que les droites $(AB)$ et $(d)$ ne sont pas perpendiculaires.

Par conséquent, les droites $(AB)$ et $(d)$ sont sécantes non perpendiculaires.
L'affirmation a est donc exacte.

Affirmation 2 : La droite $(AB)$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}~.$
Réponse d.

Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est $4x+4y-2z+3=0~.$
Dès lors, un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix}$

Or nous avons $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix}$ (voir affirmation 1.)

D'où $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{n}~.$

Par conséquent, la droite $(AB)$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}~.$
L'affirmation d est donc exacte.

Affirmation 3 : On considère le plan $\mathscr{P}'$ d'équation cartésienne $2x+y+6z+5=0~.$
Les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}'$ sont perpendiculaires.
Réponse b.

Les vecteurs normaux aux plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}'$ sont respectivement $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{n}'\begin{pmatrix}2\\1\\6\end{pmatrix}~.$

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{n}'=4\times2+4\times1-2\times6$

$\phantom{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{n'}}=8+4-12$

$\phantom{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{n'}}=0$

$\Longrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{n}'=0}$

Il s'ensuit que les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{n}'$ sont orthogonaux.
D'où les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}'$ sont perpendiculaires.
L'affirmation b est donc exacte.

Affirmation 4 : On considère le point $C~(0~;~1~;~-1)~.$ La valeur de l'angle $\widehat{BAC}$ arrondie au degré est $51^{\circ}~.$
Réponse b.

Nous savons que : $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=||\overrightarrow{AB}||\times ||\overrightarrow{AC}||\times\cos(\widehat{BAC})\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\cos(\widehat{BAC})=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{||\overrightarrow{AB}||\times ||\overrightarrow{AC}||}}$

Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\4\-2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}0+3\1-1\-1-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\0\-5\end{pmatrix}~.$

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\times3+4\times0+(-2)\times(-5)$

$\phantom{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}=12+0+10$

$\phantom{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}=22$

$\Longrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=22}$

$||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{4^2+4^2+(-2)^2}$

$\phantom{||\overrightarrow{AB}||}=\sqrt{16+16+4}$

$\phantom{||\overrightarrow{AB}||}=\sqrt{36}$

$\Longrightarrow\quad\boxed{||\overrightarrow{AB}||=6}$

$||\overrightarrow{AC}||=\sqrt{3^2+0^2+(-5)^2}$

$\phantom{||\overrightarrow{AC}||}=\sqrt{9+0+25}$

$\phantom{||\overrightarrow{AC}||}=\sqrt{34}$

$\Longrightarrow\quad\boxed{||\overrightarrow{AC}||=\sqrt{34}}$

Nous en déduisons que :

$\cos(\widehat{BAC})=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{||\overrightarrow{AB}||\times ||\overrightarrow{AC}||}$

$\phantom{\cos(\widehat{BAC})}=\dfrac{22}{6\times \sqrt{34}}$

$\Longrightarrow\quad\widehat{BAC}=\arccos\left(\dfrac{22}{6\times \sqrt{34}}\right)$

$\Longrightarrow\quad \boxed{\widehat{BAC}\approx 51^{\circ}}$

L'affirmation b est donc exacte.