Système d'équations cartésiennes d'une droite

Dans l'espace, une droite peut également être définie comme l'intersection de deux plans sécants.

La droite, dont nous savions jusqu'à présent donner une représentation paramétrique va également pouvoir être entièrement déterminée par un système d'équations cartésiennes.

Exemple :

On considère les plans $(P)$ et $(Q)$ d'équations respectives $x+y-2z=-5$ et $2x+y-z=-4$.

Soit $(D)$ la droite définie par l'intersection de ces deux plans. $M(x,y,z)\in (P)\cap (Q)\iff\left \lbrace \begin{matrix} x + y - 2z = -5 \quad (L_1)\\ 2x + y - z = -4 \quad (L_2)\end{matrix} \right.$
Donner un point et un vecteur directeur puis une représentation paramétrique de $(D)$

Solution :
Dans $(2)$ on soustrait $L_2-L_1$ :
$L_2-L_1 \Longrightarrow x = 1 - z$
Et en remplaçant dans $L_1$ : $y = -6 + 3z$
Les solutions du système sont de la forme : $(1-z,-6+3z,z)$, que l'on peut écrire : $(1,-6,0)+z(-1,3,1)$
$(D)$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(-1,3,1)$ et passe par le point $A(1, -6,0)$.

Une représentation paramétrique est donc :

$\left \lbrace \begin{matrix}x = 1-t{\phantom{1+\quad t\in \mathbb R}} \\ y=-6+3t \quad \;\;t\in \mathbb R \\ z = t {\phantom{1+1+\quad t\in \mathbb R}}\ \end{matrix} \right.$