Système d'équations cartésiennes d'une droite

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Dans l'espace, une droite peut également être définie comme l'intersection de deux plans sécants.

picture-in-textLa droite, dont nous savions jusqu'à présent donner une représentation paramétrique va également pouvoir être entièrement déterminée par un système d'équations cartésiennes.

Exemple :

On considère les plans (P)(P) et (Q)(Q) d'équations respectives x+y2z=5x+y-2z=-5 et 2x+yz=42x+y-z=-4.

Soit (D)(D) la droite définie par l'intersection de ces deux plans. M(x,y,z)(P)(Q)    {x+y2z=5(L1)2x+yz=4(L2)M(x,y,z)\in (P)\cap (Q)\iff\left \lbrace \begin{matrix} x + y - 2z = -5 \quad (L_1)\\ 2x + y - z = -4 \quad (L_2)\end{matrix} \right.
Donner un point et un vecteur directeur puis une représentation paramétrique de (D)(D)

Solution :
Dans (2)(2) on soustrait L2L1L_2-L_1 :
L2L1x=1zL_2-L_1 \Longrightarrow x = 1 - z
Et en remplaçant dans L1L_1 : y=6+3zy = -6 + 3z
Les solutions du système sont de la forme : (1z,6+3z,z)(1-z,-6+3z,z), que l'on peut écrire : (1,6,0)+z(1,3,1)(1,-6,0)+z(-1,3,1)
(D)(D) a pour vecteur directeur u(1,3,1)\vec{u}(-1,3,1) et passe par le point A(1,6,0)A(1, -6,0).

Une représentation paramétrique est donc :

{x=1t1+tRy=6+3t    tRz=t1+1+tR \left \lbrace \begin{matrix}x = 1-t{\phantom{1+\quad t\in \mathbb R}} \\ y=-6+3t \quad \;\;t\in \mathbb R \\ z = t {\phantom{1+1+\quad t\in \mathbb R}}\ \end{matrix} \right.