Prérequis : Ce chapitre est un complément de ce qui a été vu en 1re sur le produit scalaire dans le plan. Il faut donc avoir bien compris cette notion et maîtriser l'aspect calculatoire et les raisonnements qui s'y rapportent.
Enjeu : Cette partie de programme possède deux principaux enjeux. Le premier consiste à être capable de montrer que deux vecteurs de l'espace sont orthogonaux. Le second est de fournir un lien entre une équation cartésienne d'un plan et les coordonnées d'un vecteur normal à ce plan.
I. Extension du produit scalaire à l'espace
Soient u et v deux vecteurs de l’espace. A, B et C sont trois points tels que u=AB et v=AC. Il existe au moins un plan P contenant les points A, B et C. On appelle produit scalaire dans l’espace de u et v le réel, noté u⋅v, défini par le produit scalaire dans le plan AB⋅AC.
Remarque : En pratique, pour calculer le produit scalaire entre deux vecteurs de l’espace, on cherche les représentants de ces vecteurs dans un même plan et on utilise l’une des expressions permettant de calculer le produit scalaire dans le plan.
Propriétés:
∘ Si u=0 ou v=0, alors u⋅v=0.
Soient u=AB et v=AC deux vecteurs non nuls de l’espace.
∘u⋅v=∣∣u∣∣×∣∣v∣∣×cos(u;v)
∘u⋅v=AB×AC×cos(BAC)
∘ Si H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), alors u⋅v=AB⋅AC=AB⋅AH.
∘ Si u et v sont colinéaires et de même sens, alors u⋅v=∣∣u∣∣×∣∣v∣∣. Si u et v sont colinéaires et de sens contraires, alors u⋅v=−∣∣u∣∣×∣∣v∣∣.
Remarque : Si K est le projeté orthogonal de B sur (AC), on a : u⋅v=AB⋅AC=AH⋅AC.
II. Le carré scalaire
Définition : Le carré scalaire d’un vecteur u, noté u2, est le produit scalaire u⋅u.
Conséquence : Pour tout vecteur u, on a : u2=∣∣u∣∣2.
Propriétés (autres identités) : Soient u et v deux vecteurs de l’espace.
∘1)u⋅v=21(∣∣u∣∣2+∣∣v∣∣2−∣∣u−v∣∣2).
∘2)u⋅v=21(∣∣u+v∣∣2−∣∣u∣∣2−∣∣v∣∣2).
∘3)u⋅v=41(∣∣u+v∣∣2−∣∣u−v∣∣2).
Exemple 1 : Dans ce cube, évaluerBC.BG en fonction de a l'arête du cube.
On a BC.BG=BC.BC=BC×BC=BC2=a2
Exemple 2 :
Dans un tétraèdre régulier ABCD de côté 4cm, évaluer le produit scalaire AB⋅AC.
On a : AB⋅AC=AB×AC×cos(BAC).
Comme ABCD est un tétraèdre régulier (toutes les faces sont des triangles équilatéraux), on sait que : cos(BAC)=cos(3π).
Ainsi : AB⋅AC=4×4×cos(3π). Or cos(3π)=21.
On obtient alors : AB⋅AC=16×21 .Et, AB⋅AC=8.
IV. Orthogonalité de deux vecteurs
Propriété : Deux vecteurs de l'espace u et v sont dits orthogonaux si, et seulement si, u.v=0.
Remarque : Le vecteur nul 0 est orthogonal à tous les vecteurs de l’espace, car pour tout vecteur u, on a : u⋅0=0⋅u=0.
V. Expression analytique du produit scalaire
Définitions :
∘Dire qu’une base (i;j;k) de l’espace est orthonormée signifie que ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux et ont la même norme choisie pour unité.
∘Dire qu’un repère (O;i;j;k) est orthonormé signifie que la base (i;j;k) est orthonormée.
1. Produit scalaire dans une base orthonormée
Propriété : Dans une base orthonormée (i;j;k), pour tous vecteurs u=xyz et v=x′y′z′, on a : u⋅v=x⋅x′+y⋅y′+z⋅z′
Démonstration :
u.v=(xi+yj+zk).(x′i+y′j+z′k)u.v=xi.x′i+xi.y′j+xi.z′k+yj.x′i+yj.y′j+yj.z′k+zk.x′i+zk.y′j+zk.z′ku.v=xx′+yy′+zz′ car les vecteurs i,j et k sont orthogonaux entre eux et i.i=j.j=k.k=1.
2. Norme d'un vecteur et distance entre deux points dans un repère orthonormé
Propriété : Dans un repère orthonormé (O;i;j;k) :
∘ Pour tout vecteur u=xyz, on a : ∣∣u∣∣=x2+y2+z2.
∘Pour tous points A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB), on a : AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2.
Une relation très utile dans les exercices :
u2=u⋅u=x2+y2+z2=∣∣u∣∣2
Exemple :
On considère u=32−1 et v=124.
1. Démontrer que u et v ne sont pas orthogonaux.
2. Donner une valeur approchée de l’angle (u;v) à 10−2 près.
Solution : 1. Le produit scalaire u⋅v est donné par : u⋅v=xuxv+yuyv+zuzv.
Calculons : u⋅v=3⋅1+2⋅2+(−1)⋅4. u⋅v=3+4−4=3.
Puisque u⋅v=0, u et v ne sont pas orthogonaux.
2. Déterminer une valeur approchée de l’angle (u;v) à 10−2 près.
Calculons les normes des vecteurs : ∣u∣=32+22+(−1)2=9+4+1=14. ∣v∣=12+22+42=1+4+16=21.
La relation entre le produit scalaire et l’angle est donnée par : cos(u;v)=∣u∣×∣v∣u⋅v.
Substituons les valeurs : cos(u;v)=14⋅213=2943.
Calculons l’angle : (u;v)=arccos(2943).
En utilisant une approximation numérique : (u;v)≈79,92∘.