Produit scalaire de deux vecteurs de l’espace

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Prérequis : Ce chapitre est un complément de ce qui a été vu en 1re sur le produit scalaire dans le plan. Il faut donc avoir bien compris cette notion et maîtriser l'aspect calculatoire et les raisonnements qui s'y rapportent.

Enjeu : Cette partie de programme possède deux principaux enjeux. Le premier consiste à être capable de montrer que deux vecteurs de l'espace sont orthogonaux. Le second est de fournir un lien entre une équation cartésienne d'un plan et les coordonnées d'un vecteur normal à ce plan.

I. Extension du produit scalaire à l'espace

Soient u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} deux vecteurs de l’espace. AA, BB et CC sont trois points tels que u=AB\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} et v=AC\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC}.
Il existe au moins un plan PP contenant les points AA, BB et CC.
On appelle produit scalaire dans l’espace de u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} le réel, noté uv\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}, défini par le produit scalaire dans le plan ABAC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}.

Remarque :
En pratique, pour calculer le produit scalaire entre deux vecteurs de l’espace, on cherche les représentants de ces vecteurs dans un même plan et on utilise l’une des expressions permettant de calculer le produit scalaire dans le plan.

Propriétés:

\circ\quad Si u=0\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} ou v=0\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}, alors uv=0\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0.

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Soient u=AB\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} et v=AC\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC} deux vecteurs non nuls de l’espace.

uv=u×v×cos(u;v)\circ\quad \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}| |\times ||\overrightarrow{v}|| \times \cos\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}\right)

uv=AB×AC×cos(BAC^)\circ\quad \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = AB \times AC \times \cos\left(\widehat{BAC}\right)

\circ\quad Si HH est le projeté orthogonal de CC sur la droite (AB)(AB), alors uv=ABAC=ABAH\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}.

\circ\quad Si u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont colinéaires et de même sens, alors uv=u×v\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}||.
Si u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont colinéaires et de sens contraires, alors uv=u×v\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = -||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}||.

Remarque :
Si KK est le projeté orthogonal de BB sur (AC)(AC), on a : uv=ABAC=AHAC\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{AC}.

II. Le carré scalaire

Définition :
Le carré scalaire d’un vecteur u\overrightarrow{u}, noté u2\overrightarrow{u}^2, est le produit scalaire uu\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}.

Conséquence :
Pour tout vecteur u\overrightarrow{u}, on a : u2=u2\overrightarrow{u}^2 = ||\overrightarrow{u}||^2.

Pour tous points AA et BB, on a : AB2=AB2=AB2\overrightarrow{AB}^2 = ||\overrightarrow{AB}||^2 = AB^2.

III. Propriétés algébriques

Propriétés :
Soient u\overrightarrow{u}, v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} des vecteurs.

\circ\quad Symétrie : uv=vu\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}.

\circ\quad Bilinéarité :
u(k,v)=(k,u)v=k,(uv)\overrightarrow{u} \cdot (k , \overrightarrow{v}) = (k , \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v} = k , (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}),
u(v+w)=uv+uw\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}.

Propriétés (identités remarquables) :
Soient u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} deux vecteurs de l’espace.

1)\circ\quad 1) (u+v)2=u2+2(uv)+v2(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})^2 = ||\overrightarrow{u}||^2 + 2 (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) + ||\overrightarrow{v}||^2.
2)\circ\quad 2) (uv)2=u22(uv)+v2(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v})^2 = ||\overrightarrow{u}||^2 - 2 (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) + ||\overrightarrow{v}||^2.
3)\circ\quad 3) (u+v)(uv)=u2v2(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) = ||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2.

Propriétés (autres identités) :
Soient u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} deux vecteurs de l’espace.

1)\circ\quad 1) uv=12(u2+v2uv2)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \dfrac{1}{2} \left( ||\overrightarrow{u}||^2 + ||\overrightarrow{v}||^2 - ||\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}||^2 \right).

2)\circ\quad 2) uv=12(u+v2u2v2)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \dfrac{1}{2} \left( ||\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}||^2 - ||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2 \right).

3)\circ\quad 3) uv=14(u+v2uv2)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \dfrac{1}{4} \left( ||\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}||^2 - ||\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}||^2 \right).

Exemple 1 : Dans ce cube, évaluer BC.BG\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BG} en fonction de aa l'arête du cube.

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On a BC.BG=BC.BC=BC×BC=BC2=a2 \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BC}=BC \times BC = BC^2=a^2

Exemple 2 :

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Dans un tétraèdre régulier ABCDABCD de côté 4cm4 \text{cm}, évaluer le produit scalaire ABAC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}.

On a : ABAC=AB×AC×cos(BAC^)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC}).

Comme ABCDABCD est un tétraèdre régulier (toutes les faces sont des triangles équilatéraux), on sait que : cos(BAC^)=cos(π3)\cos(\widehat{BAC}) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right).

Ainsi : ABAC=4×4×cos(π3)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 4 \times \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right).
Or cos(π3)=12\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}.

On obtient alors : ABAC=16×12\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 16 \times \dfrac{1}{2} .Et, ABAC=8\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 8.

IV. Orthogonalité de deux vecteurs

Propriété : Deux vecteurs de l'espace u \vec{u} et v \vec{v} sont dits orthogonaux si, et seulement si, u.v=0 \vec{u}.\vec{v}=0 .

Remarque :
Le vecteur nul 0\overrightarrow{0} est orthogonal à tous les vecteurs de l’espace, car pour tout vecteur u\overrightarrow{u}, on a : u0=0u=0\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0} \cdot \overrightarrow{u} = 0.

V. Expression analytique du produit scalaire

Définitions :

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\circ\quadDire qu’une base (i;j;k)(\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} ; \overrightarrow{k}) de l’espace est orthonormée signifie que ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux et ont la même norme choisie pour unité.

\circ\quadDire qu’un repère (O;i;j;k)(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} ; \overrightarrow{k}) est orthonormé signifie que la base (i;j;k)(\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} ; \overrightarrow{k}) est orthonormée.

1.1. Produit scalaire dans une base orthonormée

Propriété :
Dans une base orthonormée (i;j;k)(\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} ; \overrightarrow{k}), pour tous vecteurs u=(xyz)\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} et v=(xyz)\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}, on a : uv=xx+yy+zz\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x \cdot x' + y \cdot y' + z \cdot z'

Démonstration :

u.v=(xi+yj+zk).(xi+yj+zk) \vec{u}.\vec{v}= \left(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\right).\left(x'\vec{i}+y'\vec{j}+z'\vec{k}\right) u.v=xi.xi+xi.yj+xi.zk+yj.xi+yj.yj+yj.zk+zk.xi+zk.yj+zk.zk{\phantom{\vec{u}.\vec{v}}=x\vec{i}.x'\vec{i}+x\vec{i}.y'\vec{j}+x\vec{i}.z'\vec{k}+y\vec{j}.x'\vec{i}+y\vec{j}.y'\vec{j}+y\vec{j}.z'\vec{k}+z\vec{k}.x'\vec{i}+z\vec{k}.y'\vec{j}+z\vec{k}.z'\vec{k} } u.v=xx+yy+zz{\phantom{\vec{u}.\vec{v}}=xx'+yy'+zz'}
car les vecteurs i,j \vec{i},\vec{j} et k \vec{k} sont orthogonaux entre eux et i.i=j.j=k.k=1 \vec{i}.\vec{i}=\vec{j}.\vec{j}=\vec{k}.\vec{k}=1 .

2.2. Norme d'un vecteur et distance entre deux points dans un repère orthonormé

Propriété :
Dans un repère orthonormé (O;i;j;k)(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} ; \overrightarrow{k}) :

\circ\quad Pour tout vecteur u=(xyz)\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, on a : u=x2+y2+z2||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.

\circ\quadPour tous points A(xA;yA;zA)A(x_A ; y_A ; z_A) et B(xB;yB;zB)B(x_B ; y_B ; z_B), on a :
AB=(xBxA)2+(yByA)2+(zBzA)2AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}.

Une relation très utile dans les exercices :

u2=uu=x2+y2+z2=u2\overrightarrow u^2=\overrightarrow u\cdot \overrightarrow u=x^2+y^2+z^2=||\vec u||^2

Exemple :

On considère u=(321)\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} et v=(124)\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}.

1.1. Démontrer que u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} ne sont pas orthogonaux.

2.2. Donner une valeur approchée de l’angle (u;v)(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}) à 10210^{-2} près.

Solution :
1.1. Le produit scalaire uv\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} est donné par : uv=xuxv+yuyv+zuzv\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v.

Calculons :
uv=31+22+(1)4\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + (-1) \cdot 4.
uv=3+44=3\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 3 + 4 - 4 = 3.

Puisque uv0\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \neq 0, u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} ne sont pas orthogonaux.

2.2. Déterminer une valeur approchée de l’angle (u;v)(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}) à 10210^{-2} près.

Calculons les normes des vecteurs :
u=32+22+(1)2=9+4+1=14|\overrightarrow{u}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}.
v=12+22+42=1+4+16=21|\overrightarrow{v}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}.

La relation entre le produit scalaire et l’angle est donnée par : cos(u;v)=uvu×v\cos(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}) = \dfrac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| \times |\overrightarrow{v}|}.

Substituons les valeurs : cos(u;v)=31421=3294\cos(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}) = \dfrac{3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{21}} = \dfrac{3}{\sqrt{294}}.

Calculons l’angle : (u;v)^=arccos(3294)\widehat{(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v})} = \arccos\left(\dfrac{3}{\sqrt{294}}\right).

En utilisant une approximation numérique :
(u;v)^79,92\widehat{(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v})} \approx 79,92^\circ.