Équation cartésienne d’un plan de l’espace

Signaler

Propriété :
Soit AA un point et n\overrightarrow{n} un vecteur non nul. Il existe un unique plan passant par AA et ayant pour vecteur normal n\overrightarrow{n}.

Propriété caractéristique d’un plan :

picture-in-text
Soit PP le plan passant par le point AA et ayant pour vecteur normal n\overrightarrow{n}.
Un point MM appartient au plan PP si et seulement si AMn=0\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n} = 0.

Remarque :
Un plan est entièrement déterminé par la donnée d’un point du plan et d’un vecteur normal au plan.

Exemple :
Dans un repère orthonormé, on considère le plan PP qui passe par le point B(1;1;5)B(1 ; -1 ; 5) et qui admet le vecteur n=(213)\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} comme vecteur normal.

Démontrons que le point D(3;0;3)D(3 ; 0 ; 3) n’appartient pas à PP.

DP    BDn=0D \in P \iff \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{n} = 0.

On calcule BD\overrightarrow{BD} :
BD=(310(1)35)=(212)\overrightarrow{BD} = \begin{pmatrix} 3 - 1 \\ 0 - (-1) \\ 3 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}.

Calculons BDn\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{n} :
BDn=2×2+1×1+(2)×(3)=4+1+6=11\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{n} = 2 \times 2 + 1 \times 1 + (-2) \times (-3) = 4 + 1 + 6 = 11.

Donc BDn0\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{n} \neq 0. Ainsi, DPD \notin P.

II. Équation cartésienne d'un plan

Dans un repère orthonormé de l’espace :

\circ\quad L’ensemble des points M(x;y;z)M(x ; y ; z) tels que ax+by+cz+d=0ax + by + cz + d = 0, avec aa, bb, cc des réels tels que (a;b;c)(0;0;0)(a ; b ; c) \neq (0 ; 0 ; 0), est un plan ayant pour vecteur normal n=(abc)\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}.

\circ\quad Réciproquement, tout plan de l’espace ayant pour vecteur normal n=(abc)\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} admet une équation de la forme ax+by+cz+d=0ax + by + cz + d = 0, avec aa, bb, cc des réels tels que (a;b;c)(0;0;0)(a ; b ; c) \neq (0 ; 0 ; 0).

Cette équation est appelée équation cartésienne du plan.

Remarque :
Un plan a une infinité d’équations cartésiennes.

Exemple :
L’espace est muni d’un repère orthonormé.
On considère le point A(2;1;1)A(2;-1;1) et le vecteur n=(342)\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}. Donner une équation cartésienne du plan P\mathcal P passant par AA et de vecteur normal n\overrightarrow n.

Une équation de P\mathcal P s'écrit : 3x4y+z+d=03x-4y+z+d=0, avec dRd\in \mathbb R.

Déterminons dd. Pour cela écrivons que le point AA appartient à P\mathcal P.

AP    3×24×(1)+2×1+d=0A\in \mathcal P\iff 3\times 2-4\times (-1)+2\times 1+d=0

AP    d=12A\in \mathcal P\iff d=12

Conclusion : une équation de P\mathcal P est 3x4y+z+12=03x-4y+z+12=0.