Propriété : Soit A un point et n un vecteur non nul. Il existe un unique plan passant par A et ayant pour vecteur normal n.
Propriété caractéristique d’un plan :
Soit P le plan passant par le point A et ayant pour vecteur normal n. Un point M appartient au plan P si et seulement si AM⋅n=0.
Remarque : Un plan est entièrement déterminé par la donnée d’un point du plan et d’un vecteur normal au plan.
Exemple : Dans un repère orthonormé, on considère le plan P qui passe par le point B(1;−1;5) et qui admet le vecteur n=21−3 comme vecteur normal.
Démontrons que le point D(3;0;3) n’appartient pas à P.
D∈P⟺BD⋅n=0.
On calcule BD : BD=3−10−(−1)3−5=21−2.
Calculons BD⋅n : BD⋅n=2×2+1×1+(−2)×(−3)=4+1+6=11.
Donc BD⋅n=0. Ainsi, D∈/P.
II. Équation cartésienne d'un plan
Dans un repère orthonormé de l’espace :
∘ L’ensemble des points M(x;y;z) tels que ax+by+cz+d=0, avec a, b, c des réels tels que (a;b;c)=(0;0;0), est un plan ayant pour vecteur normal n=abc.
∘ Réciproquement, tout plan de l’espace ayant pour vecteur normal n=abc admet une équation de la forme ax+by+cz+d=0, avec a, b, c des réels tels que (a;b;c)=(0;0;0).
Cette équation est appelée équation cartésienne du plan.
Remarque : Un plan a une infinité d’équations cartésiennes.
Exemple : L’espace est muni d’un repère orthonormé. On considère le point A(2;−1;1) et le vecteur n=3−42. Donner une équation cartésienne du plan P passant par A et de vecteur normal n.
Une équation de P s'écrit : 3x−4y+z+d=0, avec d∈R.
Déterminons d. Pour cela écrivons que le point A appartient à P.