Droites de l'espace

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I. Vecteurs directeurs d’une droite, vecteurs colinéaires.

Définition : Dire qu’un vecteur $\overrightarrow{u}$ non nul est un vecteur directeur d’une droite $d$ signifie qu’il existe deux points distincts $A$ et $B$ de la droite $d$ tels que $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$.

Exemple : $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$ avec $A$ et $B$ deux points distincts de la droite $(d)$, donc $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de $(d)$.

Remarque : Si $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de la droite $(d)$, alors tout vecteur $k \overrightarrow{u}$, avec $k \in \mathbb{R}^*$, est aussi un vecteur directeur de $(d)$. Ainsi, une droite a une infinité de vecteurs directeurs.

Définitions :
$\circ\quad$ Dire que deux vecteurs de l’espace non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires signifie qu’il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{u} = k \overrightarrow{v}$ (ou $\overrightarrow{v} = k \overrightarrow{u}$).
$\circ\quad$ Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur de l’espace.

Un vecteur directeur d’une droite est un vecteur non nul qui indique sa direction. Tous les vecteurs de la forme $t\overrightarrow{u}$, avec $t \in \mathbb{R}^*$, sont également des vecteurs directeurs de cette droite.

Exemple :

$ABCD$ est un tétraèdre.

1. Construire les points $M$ et $N$ tels que :
   $\circ\quad \overrightarrow{BM} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{BA}$
   $\circ\quad \overrightarrow{CN} = 2 \overrightarrow{BC}$

2. Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{MC}$ et $\overrightarrow{AN}$ sont colinéaires.

$\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC}$
$\overrightarrow{MC} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{MC} = -\dfrac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN}$
$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + 2 \overrightarrow{BC}$
$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + 2 \overrightarrow{BA} + 2 \overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{AN} = 3 \overrightarrow{AC} - 2 \overrightarrow{AB}$

On a :
$\overrightarrow{MC} = -\dfrac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{AN} = 3 \overrightarrow{AC} - 2 \overrightarrow{AB}$

En multipliant $\overrightarrow{MC}$ par $3$, on obtient :
$3 \overrightarrow{MC} = -2 \overrightarrow{AB} + 3 \overrightarrow{AC}$

Ainsi :
$3 \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AN}$

D’où $\overrightarrow{MC}$ et $\overrightarrow{AN}$ sont colinéaires.

II. Droites dans l’espace

Une droite est entièrement déterminée par :

Soit par la donnée de deux points,

Soit par :

$\circ\quad$ Un point $A$ de la droite.

$\circ\quad$ Un vecteur directeur $\overrightarrow{u}$, qui donne la direction de la droite.

Tout point $M$ de la droite peut être obtenu par translation du point $A$ selon un vecteur du type $t\overrightarrow{u}$ :

$M \in (d)\iff \overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{u}, \text{ avec } t \in \mathbb{R}.$

Propriété :
Soit $(d)$ la droite passant par le point $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$.
Un point $M$ appartient à la droite $(d)$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.