I. Vecteurs directeurs d’une droite, vecteurs colinéaires.
Définition : Dire qu’un vecteur u non nul est un vecteur directeur d’une droite d signifie qu’il existe deux points distincts A et B de la droite d tels que u=AB.
Exemple :u=AB avec A et B deux points distincts de la droite (d), donc u est un vecteur directeur de (d).
Remarque : Si u est un vecteur directeur de la droite (d), alors tout vecteur ku, avec k∈R∗, est aussi un vecteur directeur de (d). Ainsi, une droite a une infinité de vecteurs directeurs.
Définitions : ∘ Dire que deux vecteurs de l’espace non nuls u et v sont colinéaires signifie qu’il existe un réel k tel que u=kv (ou v=ku). ∘ Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur de l’espace.
Un vecteur directeur d’une droite est un vecteur non nul qui indique sa direction. Tous les vecteurs de la forme tu, avec t∈R∗, sont également des vecteurs directeurs de cette droite.
Exemple :
ABCD est un tétraèdre.
Construire les points M et N tels que : ∘BM=31BA ∘CN=2BC
Démontrer que les vecteurs MC et AN sont colinéaires.
MC=MB+BC MC=31AB+BA+AC MC=−32AB+AC
AN=AC+CN AN=AC+2BC AN=AC+2BA+2AC AN=3AC−2AB
On a : MC=−32AB+AC AN=3AC−2AB
En multipliant MC par 3, on obtient : 3MC=−2AB+3AC
Ainsi : 3MC=AN
D’où MC et AN sont colinéaires.
2. Droites dans l’espace
Une droite est entièrement déterminée par :
Soit par la donnée de deux points,
Soit par :
∘Un pointA de la droite.
∘Un vecteur directeuru, qui donne la direction de la droite.
Tout point M de la droite peut être obtenu par translation du point A selon un vecteur du type tu :
M∈(d)⟺AM=tu, avec t∈R.
Propriété : Soit (d) la droite passant par le point A et de vecteur directeur u. Un point M appartient à la droite (d) si et seulement si les vecteurs AM et u sont colinéaires.