Droites de l'espace

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I. Vecteurs directeurs d’une droite, vecteurs colinéaires.

Définition : Dire qu’un vecteur u\overrightarrow{u} non nul est un vecteur directeur d’une droite dd signifie qu’il existe deux points distincts AA et BB de la droite dd tels que u=AB\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}.

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Exemple : u=AB\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} avec AA et BB deux points distincts de la droite (d)(d), donc u\overrightarrow{u} est un vecteur directeur de (d)(d).

Remarque : Si u\overrightarrow{u} est un vecteur directeur de la droite (d)(d), alors tout vecteur kuk \overrightarrow{u}, avec kRk \in \mathbb{R}^*, est aussi un vecteur directeur de (d)(d). Ainsi, une droite a une infinité de vecteurs directeurs.

Définitions :
\circ\quad Dire que deux vecteurs de l’espace non nuls u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont colinéaires signifie qu’il existe un réel kk tel que u=kv\overrightarrow{u} = k \overrightarrow{v} (ou v=ku\overrightarrow{v} = k \overrightarrow{u}).
\circ\quad Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur de l’espace.

Un vecteur directeur d’une droite est un vecteur non nul qui indique sa direction. Tous les vecteurs de la forme tut\overrightarrow{u}, avec tRt \in \mathbb{R}^*, sont également des vecteurs directeurs de cette droite.

Exemple :

ABCDABCD est un tétraèdre.

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  1. Construire les points MM et NN tels que :
    BM=13BA\circ\quad \overrightarrow{BM} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{BA}
    CN=2BC\circ\quad \overrightarrow{CN} = 2 \overrightarrow{BC}

  2. Démontrer que les vecteurs MC\overrightarrow{MC} et AN\overrightarrow{AN} sont colinéaires.

MC=MB+BC\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC}
MC=13AB+BA+AC\overrightarrow{MC} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}
MC=23AB+AC\overrightarrow{MC} = -\dfrac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}

AN=AC+CN\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN}
AN=AC+2BC\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + 2 \overrightarrow{BC}
AN=AC+2BA+2AC\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + 2 \overrightarrow{BA} + 2 \overrightarrow{AC}
AN=3AC2AB\overrightarrow{AN} = 3 \overrightarrow{AC} - 2 \overrightarrow{AB}

On a :
MC=23AB+AC\overrightarrow{MC} = -\dfrac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}
AN=3AC2AB\overrightarrow{AN} = 3 \overrightarrow{AC} - 2 \overrightarrow{AB}

En multipliant MC\overrightarrow{MC} par 33, on obtient :
3MC=2AB+3AC3 \overrightarrow{MC} = -2 \overrightarrow{AB} + 3 \overrightarrow{AC}

Ainsi :
3MC=AN3 \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AN}

D’où MC\overrightarrow{MC} et AN\overrightarrow{AN} sont colinéaires.

2.2. Droites dans l’espace

Une droite est entièrement déterminée par :

Soit par la donnée de deux points,

Soit par :

\circ\quad Un point AA de la droite.

\circ\quad Un vecteur directeur u\overrightarrow{u}, qui donne la direction de la droite.

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Tout point MM de la droite peut être obtenu par translation du point AA selon un vecteur du type tut\overrightarrow{u} :

M(d)    AM=tu, avec tR. M \in (d)\iff \overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{u}, \text{ avec } t \in \mathbb{R}.

Propriété :
Soit (d)(d) la droite passant par le point AA et de vecteur directeur u\overrightarrow{u}.
Un point MM appartient à la droite (d)(d) si et seulement si les vecteurs AM\overrightarrow{AM} et u\overrightarrow{u} sont colinéaires.