I. Projeté orthogonal d’un point sur une droite de l’espace et distance du point à cette droite
Voici deux définitions équivalentes. Suivant le contexte, on utilisera l'une ou l'autre.
Définition 1 :
Soient un point et une droite de l’espace.
Il existe un unique plan passant par et orthogonal à .
On appelle projeté orthogonal de sur le point d’intersection de ce plan et de .
(H est le projeté orthogonal de sur .)
Définition 2 :
Soit un point et une droite de l’espace. Le projeté orthogonal du point sur la droite est le point appartenant à tel que la droite soit perpendiculaire à la droite .
Propriété
Si est un point quelconque de , la distance de à la droite est la plus courte distance de à c'est-à-dire :
Cette distance se note et on a : .
II. Un exemple rédigé
Exemple :
Dans un repère orthonormé, on considère le plan d’équation : .
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point sur le plan . Déterminer la distance du point au plan .
Solution :
Le vecteur est un vecteur normal au plan . Ainsi, est aussi un vecteur directeur de la droite orthogonale à et passant par .
Une représentation paramétrique de est donnée par :
où .
Déterminons les coordonnées de , point d’intersection de et .
si et seulement si :
Substituons , et dans l’équation du plan :
.
Simplifions :
.
Calculons les coordonnées de :
Pour :
,
,
.
Ainsi, est le projeté orthogonal de sur le plan .
Calculons la distance du point au plan .