Projeté orthogonal d’un point sur une droite

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I. Projeté orthogonal d’un point sur une droite de l’espace et distance du point à cette droite

Voici deux définitions équivalentes. Suivant le contexte, on utilisera l'une ou l'autre.

Définition 1 :

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Soient AA un point et (d)(d) une droite de l’espace.

Il existe un unique plan passant par AA et orthogonal à (d)(d).

On appelle projeté orthogonal de AA sur (d)(d) le point d’intersection de ce plan et de (d)(d).

(H est le projeté orthogonal de AA sur (d)(d).)

Définition 2 :

Soit un point AA et une droite (D)(D) de l’espace. Le projeté orthogonal du point AA sur la droite (D)(D) est le point HH appartenant à (D)(D) tel que la droite (AH)(AH) soit perpendiculaire à la droite (D)(D).

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Propriété

Si MM est un point quelconque de (D)(D), la distance de AA à la droite (D)(D) est la plus courte distance de AA à (D)(D) c'est-à-dire :

M(D)  ,AM>AH\forall M\in (D)\;, AM\gt AH

Cette distance se note d(A;(D))d(A; (D)) et on a : AH=d(A;(D))AH=d(A; (D)).

II. Un exemple rédigé

Exemple :
Dans un repère orthonormé, on considère le plan PP d’équation : 3x+yz2=03x + y - z - 2 = 0.
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal HH du point A(5;1;3)A(5 ; 1 ; 3) sur le plan PP. Déterminer d(A;P)d(A;\mathcal P) la distance du point AA au plan P\mathcal P.

Solution :

Le vecteur n=(311)\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} est un vecteur normal au plan PP. Ainsi, n\overrightarrow{n} est aussi un vecteur directeur de la droite (d)(d) orthogonale à PP et passant par AA.

Une représentation paramétrique de (d)(d) est donnée par :
{x=3t+5y=t+1z=t+3\begin{cases}x = 3t + 5\\ y = t + 1\\ z = -t + 3\end{cases}tRt \in \mathbb{R}.

Déterminons les coordonnées de H(x;y;z)H(x ; y ; z), point d’intersection de (d)(d) et PP.

H(x;y;z)P(d)H(x ; y ; z) \in P \cap (d) si et seulement si : {x=3t+5y=t+1z=t+33x+yz2=0\begin{cases}x = 3t + 5\\ y = t + 1\\ z = -t + 3\\3x + y - z - 2 = 0\end{cases}

Substituons xx, yy et zz dans l’équation du plan PP :
3(3t+5)+(t+1)(t+3)2=03(3t + 5) + (t + 1) - (-t + 3) - 2 = 0.

Simplifions :
9t+15+t+1+t32=09t + 15 + t + 1 + t - 3 - 2 = 0
11t+11=0\Rightarrow 11t + 11 = 0
t=1\Rightarrow t = -1.

Calculons les coordonnées de HH :
Pour t=1t = -1 :
x=3(1)+5=2x = 3(-1) + 5 = 2,
y=1+1=0y = -1 + 1 = 0,
z=(1)+3=4z = -(-1) + 3 = 4.

Ainsi, H(2;0;4)H(2 ; 0 ; 4) est le projeté orthogonal de AA sur le plan PP.

Calculons d(A;P)d(A;\mathcal P) la distance du point AA au plan P\mathcal P.

d(A;P)=AH=(25)2+(01)2+(43)2=11d(A;\mathcal P)=AH=\sqrt{(2-5)^2+(0-1)^2+(4-3)^2}=\sqrt{11}