Orthogonalité dans l'espace

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I. Orthogonalité de deux droites

Définition :
Dire que deux droites de l’espace sont orthogonales signifie que leurs parallèles passant par un même point quelconque sont perpendiculaires.

picture-in-textSur cette représentation, (D1)(D2)(D_1)\perp (D_2)

Remarques :
\circ\quadDeux droites orthogonales ne sont pas nécessairement coplanaires.
\circ\quadLe mot « perpendiculaire » ne s’utilise que pour des droites orthogonales et sécantes (donc coplanaires).

Propriété :
Deux droites de l’espace sont orthogonales si et seulement si un vecteur directeur de l’une est orthogonal à un vecteur directeur de l’autre.

Propriétés :
\circ\quad Si deux droites sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre.
\circ\quad Si deux droites sont orthogonales, alors toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre.

II. Orthogonalité d'une droite et d'un plan

Définition :
Dire qu’une droite de l’espace est orthogonale à un plan signifie qu’elle est orthogonale à toute droite de ce plan.

Propriétés :

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\circ\quadUne droite (d)(d) est orthogonale à un plan PP si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de PP.

\circ\quadUne droite (d)(d) de vecteur directeur n\overrightarrow{n} est orthogonale à un plan PP dirigé par deux vecteurs non colinéaires u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} si et seulement si n\overrightarrow{n} est orthogonal à la fois à u\overrightarrow{u} et à v\overrightarrow{v}, c’est-à-dire : nu=0\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u} = 0 et nv=0\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{v} = 0.

Propriétés :

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\circ\quadSi deux plans sont orthogonaux à une même droite, alors ils sont parallèles.

\circ\quadSi deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l’un est orthogonale à l’autre.

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\circ\quadSi deux droites sont parallèles, alors tout plan orthogonal à l’une est orthogonal à l’autre.

\circ\quadSi deux droites sont orthogonales à un même plan, alors elles sont parallèles.

Exemple :

L’espace est muni d’un repère orthonormé.
On considère la droite (d)(d) de vecteur directeur n=(212)\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}.
On considère le plan (ABC)(ABC) dirigé par AB=(543)\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} et AC=(062)\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix}.

Démontrons que (d)(d) est orthogonale à (ABC)(ABC).

Vérifions que nAB=0\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 et nAC=0\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0.

nAB=2×5+1×(4)+(2)×3=1046=0\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 2 \times 5 + 1 \times (-4) + (-2) \times 3 = 10 - 4 - 6 = 0, donc nAB\overrightarrow{n} \perp \overrightarrow{AB}.

nAC=2×0+1×(6)+(2)×2=064=0\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \times 0 + 1 \times (-6) + (-2) \times 2 = 0 - 6 - 4 = 0, donc nAC\overrightarrow{n} \perp \overrightarrow{AC}.

Le vecteur directeur n\overrightarrow{n} de (d)(d) est orthogonal aux vecteurs directeurs AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} du plan (ABC)(ABC). Par conséquent, (d)(ABC)(d) \perp (ABC).

III. Plans perpendiculaires

Définition : Deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un contient une droite orthogonale de l'autre.

picture-in-text

Propriété : Deux plans sont perpendiculaires si un vecteur normal à l'un est orthogonal à un vecteur normal à l'autre.