I. Orthogonalité de deux droites
Définition :
Dire que deux droites de l’espace sont orthogonales signifie que leurs parallèles passant par un même point quelconque sont perpendiculaires.
Sur cette représentation,
Remarques :
Deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement coplanaires.
Le mot « perpendiculaire » ne s’utilise que pour des droites orthogonales et sécantes (donc coplanaires).
Propriété :
Deux droites de l’espace sont orthogonales si et seulement si un vecteur directeur de l’une est orthogonal à un vecteur directeur de l’autre.
Propriétés :
Si deux droites sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre.
Si deux droites sont orthogonales, alors toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre.
II. Orthogonalité d'une droite et d'un plan
Définition :
Dire qu’une droite de l’espace est orthogonale à un plan signifie qu’elle est orthogonale à toute droite de ce plan.
Propriétés :
Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de .
Une droite de vecteur directeur est orthogonale à un plan dirigé par deux vecteurs non colinéaires et si et seulement si est orthogonal à la fois à et à , c’est-à-dire : et .
Propriétés :
Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, alors ils sont parallèles.
Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l’un est orthogonale à l’autre.
Si deux droites sont parallèles, alors tout plan orthogonal à l’une est orthogonal à l’autre.
Si deux droites sont orthogonales à un même plan, alors elles sont parallèles.
Exemple :
L’espace est muni d’un repère orthonormé.
On considère la droite de vecteur directeur .
On considère le plan dirigé par et .
Démontrons que est orthogonale à .
Vérifions que et .
, donc .
, donc .
Le vecteur directeur de est orthogonal aux vecteurs directeurs et du plan . Par conséquent, .
III. Plans perpendiculaires
Définition : Deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un contient une droite orthogonale de l'autre.
Propriété : Deux plans sont perpendiculaires si un vecteur normal à l'un est orthogonal à un vecteur normal à l'autre.