Orthogonalité dans l'espace

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I. Orthogonalité de deux droites

Définition :
Dire que deux droites de l’espace sont orthogonales signifie que leurs parallèles passant par un même point quelconque sont perpendiculaires.

Sur cette représentation, $(D_1)\perp (D_2)$

Remarques :
$\circ\quad$Deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement coplanaires.
$\circ\quad$Le mot « perpendiculaire » ne s’utilise que pour des droites orthogonales et sécantes (donc coplanaires).

Propriété :
Deux droites de l’espace sont orthogonales si et seulement si un vecteur directeur de l’une est orthogonal à un vecteur directeur de l’autre.

Propriétés :
$\circ\quad$ Si deux droites sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre.
$\circ\quad$ Si deux droites sont orthogonales, alors toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre.

II. Orthogonalité d'une droite et d'un plan

Définition :
Dire qu’une droite de l’espace est orthogonale à un plan signifie qu’elle est orthogonale à toute droite de ce plan.

Propriétés :

$\circ\quad$Une droite $(d)$ est orthogonale à un plan $P$ si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de $P$.

$\circ\quad$Une droite $(d)$ de vecteur directeur $\overrightarrow{n}$ est orthogonale à un plan $P$ dirigé par deux vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ si et seulement si $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à la fois à $\overrightarrow{u}$ et à $\overrightarrow{v}$, c’est-à-dire : $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u} = 0$ et $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{v} = 0$.

Propriétés :

$\circ\quad$Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, alors ils sont parallèles.

$\circ\quad$Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l’un est orthogonale à l’autre.

$\circ\quad$Si deux droites sont parallèles, alors tout plan orthogonal à l’une est orthogonal à l’autre.

$\circ\quad$Si deux droites sont orthogonales à un même plan, alors elles sont parallèles.

Exemple :

L’espace est muni d’un repère orthonormé.
On considère la droite $(d)$ de vecteur directeur $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$.
On considère le plan $(ABC)$ dirigé par $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix}$.

Démontrons que $(d)$ est orthogonale à $(ABC)$.

Vérifions que $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ et $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$.

$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 2 \times 5 + 1 \times (-4) + (-2) \times 3$

$\phantom{\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB}}= 10 - 4 - 6 = 0$, donc $\overrightarrow{n} \perp \overrightarrow{AB}$.

$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \times 0 + 1 \times (-6) + (-2) \times 2$

$\phantom{\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC}}= 0 - 6 - 4 = 0$, donc $\overrightarrow{n} \perp \overrightarrow{AC}$.

Le vecteur directeur $\overrightarrow{n}$ de $(d)$ est orthogonal aux vecteurs directeurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ du plan $(ABC)$. Par conséquent, $(d) \perp (ABC)$.

III. Plans perpendiculaires

Définition : Deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un contient une droite orthogonale de l'autre.

Propriété : Deux plans sont perpendiculaires si un vecteur normal à l'un est orthogonal à un vecteur normal à l'autre.