Vecteurs de l'espace

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Toutes les propriétés vues antérieurement sur les vecteurs du plan s'étendent à l'espace et sont encore valables.

I. Translation et vecteurs

Définitions :
$\circ\quad$ Soient $A$ et $B$ deux points de l’espace. La transformation qui transforme $A$ en $B$ est appelée translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ et elle est notée $t_{\overrightarrow{AB}}$.

$\circ\quad$ À tout point $C$ de l’espace, la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ associe l’unique point $D$ tel que $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}$, ce qui signifie que $ABDC$ est un parallélogramme.

Exemple :

$ABDCEFGH$ est un cube. On a $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, ce qui signifie que $D$ est l’image de $C$ par $t_{\overrightarrow{AB}}$. Et on écrit : $D = t_{\overrightarrow{AB}}(C)$

Remarques :

$\circ\quad$ Lorsque $A$ et $B$ sont confondus, on dit que le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est nul et on le note $\overrightarrow{0}$. Ainsi, pour tout point $M$ de l’espace, $\overrightarrow{MM} = \overrightarrow{0}$.

$\circ\quad$ Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont égaux si et seulement s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

$\circ\quad$ Un vecteur $\overrightarrow{u}$ a une infinité de représentants : si $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{EF} = \dots$, alors $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{EF}$ sont des représentants de $\overrightarrow{u}$.

Théorème (admis) :
Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur et $A$ un point de l’espace. Il existe un unique point $M$ tel que $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{u}$.

On dit que $\overrightarrow{AM}$ est le représentant de $\overrightarrow{u}$ d’origine $A$.

II. Opérations sur les vecteurs, combinaisons linéaires

$1.$ Somme de vecteurs

Règle du parallélogramme :
Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs, représentants respectifs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$. La somme des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est le vecteur noté $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$, de représentant $\overrightarrow{AC}$, tel que $ABCD$ soit un parallélogramme. Ainsi : $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}$.

Relation de Chasles :

Pour tous points $A$, $B$ et $C$ de l'espace, on a : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

connue sous le nom de relation de Chasles.

$2.$ Produit d’un vecteur par un réel

Définition :
Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur non nul et $k$ un réel non nul. Le vecteur $k \overrightarrow{u}$ est le vecteur qui a :

$\quad\star$ La même direction que $\overrightarrow{u}$.

$\quad\star$ Le même sens que $\overrightarrow{u}$ si $k > 0$, le sens contraire de $\overrightarrow{u}$ si $k < 0$.

$\quad\star$ Pour norme $|k| \times |\overrightarrow{u}|$.

Si $k = 0$ ou $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}$, alors $k \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}$.

Exemple : Propriétés :
Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de l’espace, $k$ et $k'$ deux réels.

$\circ\quad -k \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} \iff k = 0$ ou $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}$.
$\circ\quad (-1) \overrightarrow{u} = -\overrightarrow{u}$.
$\circ\quad k (k \overrightarrow{u}) = (k k) \overrightarrow{u}$.
$\circ\quad (k + k') \overrightarrow{u} = k \overrightarrow{u} + k' \overrightarrow{u}$.
$\circ\quad k (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = k \overrightarrow{u} + k \overrightarrow{v}$.

$3.$ Combinaison linéaire de vecteurs

Une combinaison linéaire de vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ consiste à former un nouveau vecteur $\overrightarrow{w}$ qui s'exprime en fonction de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$. Cela s’écrit : $\overrightarrow{w} = a\overrightarrow{u} + b\overrightarrow{v}$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

Sur l'exemple ci-dessous, $a=3$ et $b=2$.