Représentation paramétrique d’une droite de l’espace

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Une droite de l’espace ne peut pas être caractérisée par une équation cartésienne. On utilisera un système d’équation paramétrique.

On sait que :

Une droite est entièrement déterminée par :

$\circ\quad$ Un point $A$ de la droite.

$\circ\quad$ Un vecteur directeur $\overrightarrow{u}$, qui donne la direction de la droite.

Tout point $M$ de la droite peut être obtenu par translation du point $A$ selon un vecteur du type $t\overrightarrow{u}$ : $M \in (d)\iff \overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{u}, \text{ avec } t \in \mathbb{R}.$

Propriété :

Dans un repère $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$, la droite passant par le point $A(x_A, y_A, z_A)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix}a \\b \\c\end{pmatrix}$
est l’ensemble des points $M$ de coordonnées $(x, y, z)$ tels que :

$\left\lbrace\begin{matrix}x = x_A + ta{\phantom{\quad , \quad t\in\mathbb R}}\\y = y_A + tb\quad , \quad t\in\mathbb R\\z = z_A + tc{\phantom{\quad , \quad t\in\mathbb R}}\end{matrix}\right.$

Ce système est appelé représentation paramétrique de la droite.

Remarques :
$\circ\quad$ Le réel $t$ est appelé paramètre.
$\circ\quad$ Une droite admet une infinité de représentations paramétriques.

Exemple :
Dans le repère $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$, on a $A(-3, 8, 5)$ et $B(0, -2, 4)$. Donner une représentation paramétrique de $(AB)$.

$\overrightarrow{AB} =\begin{pmatrix}0 - (-3) \\-2 - 8 \\4 - 5\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AB} =\begin{pmatrix}3 \\-10 \\-1\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(AB)$.

Une représentation paramétrique de $(AB)$ est :

$\left\lbrace\begin{matrix}x = x_A + t \cdot x_{\overrightarrow{AB}} \\y = y_A + t \cdot y_{\overrightarrow{AB}} \\z = z_A + t \cdot z_{\overrightarrow{AB}}\end{matrix}\right.\quad t \in \mathbb{R}$

Substituons les valeurs de $A$ et $\overrightarrow{AB}$ ; une représentation paramétrique de $(AB)$ est :$\left\lbrace\begin{matrix}x = -3 + 3t \\y = 8 - 10t \\z = 5 - t\end{matrix}\right., \quad t \in \mathbb{R}$