Représentation paramétrique d’une droite de l’espace

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Une droite de l’espace ne peut pas être caractérisée par une équation cartésienne. On utilisera un système d’équation paramétrique.

On sait que :

Une droite est entièrement déterminée par :

\circ\quad Un point AA de la droite.

\circ\quad Un vecteur directeur u\overrightarrow{u}, qui donne la direction de la droite.

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Tout point MM de la droite peut être obtenu par translation du point AA selon un vecteur du type tut\overrightarrow{u} : M(d)    AM=tu, avec tR. M \in (d)\iff \overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{u}, \text{ avec } t \in \mathbb{R}.

Propriété :

Dans un repère (O;i,j,k)(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}), la droite passant par le point A(xA,yA,zA)A(x_A, y_A, z_A) et de vecteur directeur u=(abc)\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix}a \\b \\c\end{pmatrix}
est l’ensemble des points MM de coordonnées (x,y,z)(x, y, z) tels que :

{x=xA+ta,tRy=yA+tb,tRz=zA+tc,tR\left\lbrace\begin{matrix}x = x_A + ta{\phantom{\quad , \quad t\in\mathbb R}}\\y = y_A + tb\quad , \quad t\in\mathbb R\\z = z_A + tc{\phantom{\quad , \quad t\in\mathbb R}}\end{matrix}\right.

Ce système est appelé représentation paramétrique de la droite.

Remarques :
\circ\quad Le réel tt est appelé paramètre.
\circ\quad Une droite admet une infinité de représentations paramétriques.

Exemple :
Dans le repère (O;i,j,k)(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}), on a A(3,8,5)A(-3, 8, 5) et B(0,2,4)B(0, -2, 4). Donner une représentation paramétrique de (AB)(AB).

AB=(0(3)2845)\overrightarrow{AB} =\begin{pmatrix}0 - (-3) \\-2 - 8 \\4 - 5\end{pmatrix}
AB=(3101)\overrightarrow{AB} =\begin{pmatrix}3 \\-10 \\-1\end{pmatrix} est un vecteur directeur de (AB)(AB).

Une représentation paramétrique de (AB)(AB) est :

{x=xA+txABy=yA+tyABz=zA+tzABtR\left\lbrace\begin{matrix}x = x_A + t \cdot x_{\overrightarrow{AB}} \\y = y_A + t \cdot y_{\overrightarrow{AB}} \\z = z_A + t \cdot z_{\overrightarrow{AB}}\end{matrix}\right.\quad t \in \mathbb{R}

Substituons les valeurs de AA et AB\overrightarrow{AB} ; une représentation paramétrique de (AB)(AB) est :{x=3+3ty=810tz=5t,tR\left\lbrace\begin{matrix}x = -3 + 3t \\y = 8 - 10t \\z = 5 - t\end{matrix}\right., \quad t \in \mathbb{R}