Représentation paramétrique d’une droite de l’espace
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Une droite de l’espace ne peut pas être caractérisée par une équation cartésienne. On utilisera un système d’équation paramétrique.
On sait que :
Une droite est entièrement déterminée par :
∘Un pointA de la droite.
∘Un vecteur directeuru, qui donne la direction de la droite.
Tout point M de la droite peut être obtenu par translation du point A selon un vecteur du type tu : M∈(d)⟺AM=tu, avec t∈R.
Propriété :
Dans un repère (O;i,j,k), la droite passant par le point A(xA,yA,zA) et de vecteur directeur u=abc est l’ensemble des points M de coordonnées (x,y,z) tels que :
⎩⎨⎧x=xA+ta,t∈Ry=yA+tb,t∈Rz=zA+tc,t∈R
Ce système est appelé représentation paramétrique de la droite.
Remarques : ∘ Le réel t est appelé paramètre. ∘ Une droite admet une infinité de représentations paramétriques.
Exemple : Dans le repère (O;i,j,k), on a A(−3,8,5) et B(0,−2,4). Donner une représentation paramétrique de (AB).
AB=0−(−3)−2−84−5 AB=3−10−1 est un vecteur directeur de (AB).
Une représentation paramétrique de (AB) est :
⎩⎨⎧x=xA+t⋅xABy=yA+t⋅yABz=zA+t⋅zABt∈R
Substituons les valeurs de A et AB ; une représentation paramétrique de (AB) est :⎩⎨⎧x=−3+3ty=8−10tz=5−t,t∈R