Orthogonalité, équation de plan, projection et volume

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $(O ; \overrightarrow i , \overrightarrow j , \overrightarrow k)$, on considère les points :

$A(4\; ; \;-4\; ; \;4),\ B(5\; ;\; -3 \; ; \;2),\ C(6\; ; \;-2 \; ; \;3),\ D(5\; ;\; 1\; ; \;1).$

1. Nous devons démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.

En effet,

$\left\lbrace\begin{matrix} A(4 ; -4 ; 4)\\ B(5 ; -3 ; 2) \end{matrix}\right. \quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5-4\\-3+4\\2-4\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$

$\left\lbrace\begin{matrix} B(5 ; -3 ; 2)\\ C(6 ; -2 ; 3) \end{matrix}\right. \quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}6-5\\-2+3\\3-2\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$

$\Longrightarrow\quad \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=1\times1+1\times1-2\times1$

$\phantom{\Longrightarrow\quad \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}}=1+1-2$

$\phantom{\Longrightarrow\quad \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}}=0$

$\Longrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0}$

Dès lors, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont orthogonaux.

Par conséquent, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.

2. Nous devons justifier qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $x-y-8=0.$

Nous avons montré que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ et par suite, les points $A, B, C$ ne sont pas alignés.
Ils définissent donc un plan $(ABC)$.
Nous montrerons qu’une équation cartésienne de ce plan $(ABC)$ est $x-y-8=0$ en montrant que les coordonnées des points $A,B,C$ vérifient cette équation.

$x_A-y_A-8=4-(-4)-8$
$\phantom{x_A-y_A-8}=4+4-8$
$\phantom{x_A-y_A-8}=0$

$\Longrightarrow\quad \boxed{x_A-y_A-8=0}$

$x_B-y_B-8=5-(-3)-8$
$\phantom{x_B-y_B-8}=5+3-8$
$\phantom{x_B-y_B-8}=0$

$\Longrightarrow\quad \boxed{x_B-y_B-8=0}$

$x_C-y_C-8=6-(-2)-8$
$\phantom{x_C-y_C-8}=6+2-8$
$\phantom{x_C-y_C-8}=0$

$\Longrightarrow\quad \boxed{x_C-y_C-8=0}$

Les coordonnées des points $A,B,C$ vérifient l’équation $x-y-8=0.$
Par conséquent, une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $\boxed{x-y-8=0}$.

3. On note $d$ la droite passant par le point $D$ et orthogonale au plan $(ABC)$.

4. a) Nous devons déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.

La droite $d$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
Dès lors, un vecteur directeur de $d$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
Or une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $x-y-8=0.$
Donc un vecteur normal au plan $(ABC)$ est le vecteur $\overrightarrow n\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$.
Il s’ensuit qu’un vecteur directeur de $d$ est le vecteur $\overrightarrow n\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$.

De plus, la droite $d$ passe par le point $D(5 ; 1 ; 1)$.

Nous en déduisons qu’une représentation paramétrique de la droite $d$ est :
$\left\lbrace\begin{matrix} x=5+1\times t\\ y=1+(-1)\times t\\ z=1+0\times t \end{matrix}\right.\ \text{avec }t\in\R,$
soit $\boxed{\left\lbrace\begin{matrix} x=5+t\\ y=1-t\\ z=1 \end{matrix}\right.\ \text{avec }t\in\R}$

3. b) On note $H$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
   Nous devons déterminer les coordonnées du point $H$.

Par définition de la droite $d$, le point $H$ est le point d’intersection de la droite $d$ et du plan $(ABC)$.

Résolvons le système suivant :

$\left\lbrace\begin{matrix} x=5+t\\ y=1-t\\ z=1\\ x-y-8=0 \end{matrix}\right. \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x=5+t\\ y=1-t\\ z=1\\ (5+t)-(1-t)-8=0 \end{matrix}\right. \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x=5+t\\ y=1-t\\ z=1\\ 5+t-1+t-8=0 \end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x=5+t\\ y=1-t\\ z=1\\ 2t=4 \end{matrix}\right. \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x=5+t\\ y=1-t\\ z=1\\ t=2 \end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow \boxed{\left\lbrace\begin{matrix} x=7\\ y=-1\\ z=1\\ t=2 \end{matrix}\right.}$

Par conséquent, nous obtenons le point $\boxed{H(7 ; -1 ; 1)}$.

3. c) Nous devons montrer que $DH=2\sqrt2$.

En effet,

$DH=\sqrt{(7-5)^2+(-1-1)^2+(1-1)^2}$
$\phantom{DH}=\sqrt{2^2+(-2)^2+0}$
$\phantom{DH}=\sqrt{4+4}$
$\phantom{DH}=\sqrt8$
$\phantom{DH}=2\sqrt2$

$\Longrightarrow\quad \boxed{DH=2\sqrt2}$

4. a) Nous devons montrer que le volume $V$ de la pyramide $ABCD$ est égal à 2.

Nous savons que $V=\dfrac13\times\mathcal B\times h$, où $\mathcal B$ est l’aire d’une base de la pyramide et $h$ la hauteur correspondante.

Nous choisirons comme base le triangle $ABC$ rectangle en $B$ et $DH$ comme hauteur correspondante.

En utilisant les coordonnées trouvées dans la question 1, nous déduisons que :

$\left\lbrace\begin{matrix} AB=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}\\ BC=\sqrt{1^2+1^2+1^2} \end{matrix}\right. \Longrightarrow \boxed{\left\lbrace\begin{matrix} AB=\sqrt6\\ BC=\sqrt3 \end{matrix}\right.}$

D’où l’aire de la base est donnée par :

$\mathcal B=\dfrac{AB\times BC}{2}$
$\phantom{\mathcal B}=\dfrac{\sqrt6\times\sqrt3}{2}$
$\phantom{\mathcal B}=\dfrac{\sqrt{18}}{2}$
$\phantom{\mathcal B}=\dfrac{3\sqrt2}{2}$

$\Longrightarrow\quad \boxed{\mathcal B=\dfrac{3\sqrt2}{2}}$

De plus, nous avons montré que la hauteur est $h=DH$, soit $\boxed{h=2\sqrt2}$.

Nous en déduisons alors le volume $V$ de la pyramide $ABCD$.

$V=\dfrac13\times\dfrac{3\sqrt2}{2}\times2\sqrt2$
$\phantom{V}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3\sqrt2}{2}\times2\sqrt2$
$\phantom{V}=\sqrt2\times\sqrt2$
$\phantom{V}=2$

$\Longrightarrow\quad \boxed{V=2}$

4. b) On admet que l’aire du triangle $BCD$ est égale à $\dfrac{\sqrt{42}}{2}.$

Nous devons en déduire la valeur exacte de la distance du point $A$ au plan $(BCD)$.

La distance du point $A$ au plan $(BCD)$ est la distance du point $A$ à son projeté orthogonal sur le plan $(BCD)$ que nous noterons $P$.

Calculons le volume de la pyramide en choisissant comme base le triangle $BCD$ et $AP$ comme hauteur correspondante.

L’énoncé nous signale que l’aire du triangle $BCD$ est égale à $\dfrac{\sqrt{42}}{2}.$
Nous obtenons alors : $V=\dfrac13\times\dfrac{\sqrt{42}}{2}\times AP\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{V=\dfrac{\sqrt{42}}{6}\times AP}.$

Or nous avons montré dans la question 4. a) que $V=2.$

Nous obtenons alors :

$\dfrac{\sqrt{42}}{6}\times AP=2\quad\Longleftrightarrow\quad AP=\dfrac{12}{\sqrt{42}}$
$\phantom{\dfrac{\sqrt{42}}{6}\times AP=2}\Longleftrightarrow\quad AP=\dfrac{12\sqrt{42}}{42}$
$\phantom{\dfrac{\sqrt{42}}{6}\times AP=2}\Longleftrightarrow\quad \boxed{AP=\dfrac{2\sqrt7}{42}}$

Par conséquent, la valeur exacte de la distance du point $A$ au plan $(BCD)$ est $\boxed{\dfrac{2\sqrt7}{42}}$.