Vecteur normal à un plan

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I. Définition

Un vecteur non nul $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à un plan $P$ s’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de $P$.

Remarque :
Un plan a une infinité de vecteurs normaux : tout vecteur non nul colinéaire à un vecteur normal d’un plan est aussi vecteur normal à ce plan.

II. Propriétés

$\circ\quad$ Un vecteur normal à $P$ est orthogonal à tout vecteur de $P$.

$\circ\quad$Tous les vecteurs normaux à un plan sont colinéaires entre eux.

$\circ\quad$ Deux plans sont parallèles si et seulement si un vecteur normal à l’un est colinéaire à un vecteur normal à l’autre plan.

$\circ\quad$ Deux plans sont orthogonaux si et seulement si un vecteur normal à l’un est orthogonal à un vecteur normal à l’autre.

$\circ\quad$ Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si un vecteur directeur de cette droite est colinéaire à un vecteur normal à ce plan.

Propriétés :
$\circ\quad$ Une droite est parallèle à un plan si et seulement si un vecteur directeur de cette droite est orthogonal à un vecteur normal à ce plan.

Remarque :
Un vecteur normal à un plan est un vecteur directeur de toutes les droites orthogonales à ce plan.

III. Un exemple

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1 ; -1 ; -1)$, $B(0 ; 2 ; -1)$ et $C(-1 ; 1 ; 0)$.

1) Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont donnés par : $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Vérifions si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires :
$\dfrac{x_{AB}}{x_{AC}} = \dfrac{-1}{-2}$, $\dfrac{y_{AB}}{y_{AC}} = \dfrac{3}{2}$, $\dfrac{z_{AB}}{z_{AC}} = \dfrac{0}{1}$.

Les rapports $\dfrac{x_{AB}}{x_{AC}}$, $\dfrac{y_{AB}}{y_{AC}}$ et $\dfrac{z_{AB}}{z_{AC}}$ ne sont pas égaux, donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires. Par conséquent, les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.

2) Déterminer les coordonnées d’un vecteur normal $\overrightarrow{n}$ au plan $(ABC)$.
Soit $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ avec $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$ un vecteur normal au plan $(ABC)$.
$\overrightarrow{n}$ est normal au plan $(ABC)$ si et seulement si $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ et $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$.

On calcule : $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB} = -a + 3b + 0c = 0$ et $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC} = -2a + 2b + c = 0$.

On résout le système suivant :
$-a + 3b = 0$ et $-2a + 2b + c = 0$.

De la première équation, on trouve $a = 3b$.

En remplaçant $a$ dans la deuxième équation, on obtient $-2(3b) + 2b + c = 0$, soit $-6b + 2b + c = 0$, donc $c = 4b$.

En choisissant $b = 1$, on a $a = 3 \times 1 = 3$, $b = 1$ et $c = 4$.

Le vecteur $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.

Remarque :
Dans l’espace, deux droites peuvent n’avoir aucun point en commun et ne pas être parallèles. Ces droites sont dites non coplanaires.