Coordonnées du point d’intersection d’une droite et d’un plan dans l’espace

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I. Propriété

Une droite $(d)$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ et un plan $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ sont parallèles si et seulement si $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{u}$ sont orthogonaux.

II. Exemple d'application

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1 ; 3 ; -1)$ et $B(0 ; 1 ; 3)$ ainsi que le plan $P$ d’équation cartésienne $x + y - z + 1 = 0$. La droite $(AB)$ et le plan $P$ sont-ils sécants ? Si oui, calculons les coordonnées de leur point d’intersection.

Solution rédigée :

Le vecteur $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(AB)$, et $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $P$.

Calculons $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n}$ :
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n} = (-1) \times 1 + (-2) \times 1 + 4 \times (-1)$

${\phantom{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n} }}= -1 - 2 - 4$

${\phantom{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n}} }= -7$.

Comme $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n} \neq 0$, $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{AB}$ ne sont pas orthogonaux, donc $(AB)$ et $P$ sont sécants en un point $E$.

Cherchons une représentation paramétrique de $(AB)$.
La droite $(AB)$ admet la représentation paramétrique suivante :
$\begin{cases}x = 1 - t \\y = 3 - 2t \\z = -1 + 4t\end{cases}$ où $t \in \mathbb{R}$.

Déterminons les coordonnées de $E(x ; y ; z)$, point d’intersection de $(AB)$ et $P$.
$E(x ; y ; z) \in (AB) \cap P$ si et seulement si : $\begin{cases}x = 1 - t \\y = 3 - 2t \\z = -1 + 4t \\x + y - z + 1 = 0.\end{cases}$

Substituons $x$, $y$ et $z$ dans l’équation du plan $P$ :
$(1 - t) + (3 - 2t) - (-1 + 4t) + 1 = 0$.

Simplifions :
$1 - t + 3 - 2t + 1 - 4t + 1 = 0$
$\Rightarrow -7t + 6 = 0$
$\Rightarrow t = \dfrac{6}{7}$.

Calculons les coordonnées de $E$ :
Pour $t = \dfrac{6}{7}$ :
$x = 1 - t = 1 - \dfrac{6}{7} = \dfrac{1}{7}$,
$y = 3 - 2t = 3 - 2 \times \dfrac{6}{7} = \dfrac{9}{7}$,
$z = -1 + 4t = -1 + 4 \times \dfrac{6}{7} = \dfrac{17}{7}$.

Ainsi, $E\left(\dfrac{1}{7} ; \dfrac{9}{7} ; \dfrac{17}{7}\right)$.