Projeté orthogonal d’un point sur un plan de l’espace

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I. Distance d'un point à un plan

Propriété et définition :
Le projeté orthogonal $H$ d’un point $M$ sur un plan $P$ est le point de $P$ le plus proche de $M$.

On dit que $MH$ est la distance du point $M$ au plan $P$, et on peut noter : $MH = d(M ; P)$.

Propriété
Soit $A$ un point de coordonnées $(x_A ; y_A ; z_A)$ et $P$ un plan de l’espace d’équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$.
La distance du point $A$ au plan $P$ est donnée par : $d(A ; P) = \dfrac{|a x_A + b y_A + c z_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

II. Un exemple

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère le plan $P$ d’équation cartésienne $x - 3y + 2z - 4 = 0$ ainsi que le point $A(-1 ; 3 ; 2)$. Déterminer la distance du point $A$ au plan $P$.

Solution :

La distance $d(A ; P)$ est donnée par : $d(A ; P) = \dfrac{|1 \cdot (-1) - 3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 - 4|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2}}$.

Calculons le numérateur :
$|1 \cdot (-1) - 3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 - 4| = |-1 - 9 + 4 - 4 |$

${\phantom{|1 \cdot (-1) - 3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 - 4|}}=|-10|$

${\phantom{|1 \cdot (-1) - 3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 - 4|}}=10$.

Le dénominateur est égal à : $\sqrt{14}$

Conclusion : $d(A ; P)=\dfrac{10}{\sqrt {14}}=\dfrac{5\sqrt{14}}{7}$