Problème de synthèse – Thalès, Pythagore, aires et volume d’un prisme

Partie 1

$EAB$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $AE = 48$ cm et $AB = 16$ cm.
Le point $D$ appartient au segment $[AE]$ et $AD = 12$ cm. La parallèle à la droite $(AB)$ passant par $D$ est sécante à la droite $(BE)$ au point $C$.

1. a) Longueur du segment $[BE]$:
   Dans le triangle EAB rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore :
   $BE^2 = EA^2 + AB^2$
   $BE^2 = 48^2 + 16^2$
   $BE^2 = 2\ 304 + 256$
   $BE^2 = 2\ 560$
   D'où : $BE = \sqrt{2\ 560}$ cm.
   👉 Conseil : pense à écrire systématiquement l’égalité $c^2=a^2+b^2$ avant de remplacer par les valeurs.

2. b) $BE = \sqrt{2\ 560} = \sqrt{256 \times 10} = 16\sqrt{10}$ cm.
   👉 Astuce : factorise sous le radical pour faire apparaître un carré parfait.

3. Calculons $ED$ :
   Comme le point D appartient au segment $[AE]$, alors :
   $ED = AE - AD = 48 - 12 = 36$.
   D'où : $ED = 36$ cm.

Calculons $DC$ :
Les droites $(EA)$ et $(EB)$ sont sécantes en $E$.
$D$ est un point de la droite $(EA)$, C est un point de la droite $(EB)$.
De plus, les droites $(DC)$ et $(AB)$ sont parallèles.
Alors, d'après le théorème de Thalès : $\dfrac{\text{ED}}{\text{EA}} = \dfrac{\text{EC}}{\text{EB}} = \dfrac{\text{DC}}{\text{AB}}$
En particulier $\dfrac{\text{ED}}{\text{EA}} = \dfrac{\text{DC}}{\text{AB}}$
Donc : $\dfrac{36}{48} = \dfrac{\text{DC}}{16}$
soit $DC = \dfrac{36 \times 16}{48} = 12$
D'où : $DC = 12$ cm.
👉 Conseil : écris d’abord les trois rapports égaux de Thalès, puis isole celui qui contient l’inconnue.

3. Aire du triangle $EDC$ :
   $AEDC = \dfrac{b \times h}{2} = \dfrac{\text{DC} \times \text{ED}}{2} = \dfrac{12 \times 36}{2} = 216$.
   L'aire du triangle $EDC$ est de $216$ cm$^2$.

Aire du triangle $EAB$ :
$AEAB = \dfrac{b \times h}{2} = \dfrac{\text{AB} \times \text{AE}}{2} = \dfrac{16 \times 48}{2} = 384$.
L'aire du triangle $EAB$ est de $384$ cm$^2$.
👉 Astuce : dans un triangle rectangle, choisis la base et la hauteur perpendiculaires (les deux côtés de l’angle droit).

4. Aire du quadrilatère $ABCD$ :
   $AABCD = AEAB - AEDC$
   $AABCD = 384 - 216$
   $AABCD = 168$
   D'où : l'aire du quadrilatère $ABCD$ est égale à $168$ cm$^2$.
   👉 Conseil : pense « grand triangle – petit triangle » pour obtenir l’aire du quadrilatère.

5. Volume du prisme droit :
   $V = \mathcal A \times h$ où $\mathcal A$ désigne l'aire de la base du prisme droit
   $V = AABCD \times CH$
   $V = 168 \times 5$
   $V = 840$
   Le volume du prisme droit est égal à $840$ cm$^3$.
   👉 Astuce : volume d’un prisme droit = aire de la base $\times$ hauteur (unités : cm$^2 \to$ cm$^3$).

Partie 2

1. L'aire d'une dalle est de $168$ cm$^2$. On veut recouvrir l'allée dont l'aire est $10$ m$^2$, soit $100\ 000$ cm$^2$.
   Calculons le nombre minimum de dalles nécessaires pour recouvrir l'allée :
   $100\ 000 : 168 \approx 595{,}2$
   Au minimum $596$ dalles seront nécessaires pour recouvrir l'allée.
   👉 Conseil : on arrondit au supérieur car une fraction de dalle ne couvre pas complètement.

2. Nombre de dalles prévu par Monsieur Brico :
   $596 + 596 \times \dfrac{15}{100} = 596 + 89{,}4 = 685{,}4$
   Monsieur Brico a prévu $686$ dalles.
   👉 Astuce : ajoute la marge en pourcentage puis arrondis au supérieur.

3. Nombre de lots acheté par Monsieur Brico :
   $686 : 60 \approx 11{,}4$
   Monsieur Brico a acheté $12$ lots.
   👉 Conseil : même logique, on prend le nombre entier au-dessus car les lots sont indivisibles.

Partie 3

1. Le quadrilatère 7 est l'image du quadrilatère 10 par la symétrie centrale de centre $M$.

2. Le quadrilatère 9 est l'image du quadrilatère 1 par la translation de vecteur $\overrightarrow{AP}$.

3. Le quadrilatère 4 est l'image du quadrilatère 1 par la symétrie axiale d'axe $(EH)$.
   👉 Astuce : repère d’abord les segments correspondants (parallèles/opposés) pour choisir la bonne transformation.