Mise en équation et calculs de volumes dans des figures géométriques

Exercice 1

1. On a donc $IF = 3$ cm et $FK = 3$ cm.
   👉 Conseil : repère bien les milieux indiqués dans l’énoncé : chaque côté mesurait 6 cm, donc les segments reliant F aux milieux mesurent la moitié, soit 3 cm.

2. La pyramide est constituée de 3 triangles rectangles, $IFK$, $IFJ$ et $KFJ$, et d’un triangle équilatéral $IJK$.
   👉 Conseil : pour vérifier le patron d’une pyramide, observe la nature des faces : ici trois faces triangles rectangles et une face équilatérale permettent d’identifier le bon schéma.

   

   Le schéma 3 est donc le bon patron de la pyramide $FIJK$.
   👉 Conseil : avant de conclure, visualise la pyramide en 3D pour t’assurer que les arêtes correspondent bien aux longueurs mesurées.

3. Aire de $IFK$ : $\mathscr{C}=\dfrac{IF\times KF}{2}=\dfrac{9}{2}=4,5~\text{cm}^2$.
   👉 Conseil : n’oublie pas que l’aire d’un triangle rectangle se calcule en multipliant les deux côtés perpendiculaires et en divisant par 2.

Volume de la pyramide : $\mathscr{V}=\dfrac{4,5\times 3}{3}=4,5~\text{cm}^3$.
👉 Conseil : la hauteur ici correspond au segment perpendiculaire de longueur 3 cm ; vérifie toujours que tu utilises bien la hauteur issue du sommet.

Exercice 2

1. Représentons la base $ABCD$ en vraie grandeur :
   La base $ABCD$ est un carré de centre $O$. On sait que le segment $[OA]$ a pour longueur $27$ mm et que les diagonales d’un carré sont de même longueur et se coupent perpendiculairement en leur milieu. D’où le schéma ci-dessous :

   
   👉 Conseil : pense toujours à commencer par une figure claire ; dans un carré, les diagonales te donnent directement les axes de symétrie et la position du centre.

2. a) Les diagonales du rectangle $ABCD$ de centre $O$ sont perpendiculaires, donc $AOB$ est un triangle rectangle en $O$.
   De plus, ces diagonales se coupent en leur milieu $O$, donc $OA = OB$.
   Le triangle $OAB$ est donc aussi isocèle en $O$.
   👉 Conseil : quand deux segments sont égaux et perpendiculaires, le triangle formé par leurs extrémités est forcément rectangle isocèle.

3. b) Montrons que $AB = 27\sqrt{2}$ mm :
   Dans le triangle $AOB$ rectangle en $O$, on applique le théorème de Pythagore :
   $AB^2 = OA^2 + OB^2$
   Donc : $AB^2 = 2 \times OA^2 = 2 \times 27^2$
   Donc : $\text{AB} = \sqrt{2 \times 27^2}$
   D’où : $\boxed{\text{AB} = 27\sqrt{2}~\text{mm}}$
   👉 Conseil : dans un triangle isocèle rectangle, l’hypoténuse est toujours égale au côté multiplié par $\sqrt{2}$.

3. a) Calculons l’aire du carré $ABCD$ :
   L’aire du carré $ABCD$ est égale à : $\text{AB}^2 = (27\sqrt{2})^2 = 1,458~\text{mm}^2$
   👉 Conseil : vérifie toujours que tu as bien exprimé l’aire dans les mêmes unités que la hauteur, ici en mm².

4. b) Déterminons le volume $\mathscr{V}$ de la pyramide $SABCD$ :
   $\mathscr{V} = \dfrac{1}{3}\mathscr{B} \times h$ avec $\mathscr{B}$ l’aire de la base de la pyramide.
   $\mathscr{V} = \dfrac{1}{3} \times \text{AB}^2 \times \text{SO} = \dfrac{1}{3} \times 1,458 \times 120$
   D’où : $\boxed{\mathscr{V} = 58,320~\text{mm}^3}$
   👉 Conseil : rappelle-toi que le volume d’une pyramide est toujours le tiers du volume du prisme ayant la même base et la même hauteur.

4. Montrons que $SA = 123$ mm :
   Dans le triangle $SOA$ rectangle en $O$, on applique le théorème de Pythagore :
   $SA^2 = OA^2 + OS^2 = 27^2 + 120^2 = 15,129$
   Donc : $\text{SA} = \sqrt{15,129}$
   D’où : $SA = 123$ mm
   👉 Conseil : vérifie bien que tu as additionné les carrés avant de prendre la racine ; c’est une erreur fréquente.

5. a) La pyramide $SABCD$ est coupée par un plan parallèle à la base $ABCD$.
   Donc les droites $(OA)$ et $(OA')$ sont parallèles.
   👉 Conseil : deux plans parallèles conservent la direction de toutes les droites qui leur sont perpendiculaires.

6. b) On en déduit alors que $\dfrac{\text{SO}'}{\text{SO}} = \dfrac{\text{SA}'}{\text{SA}} = k = \dfrac{1}{2}$ car $A'$ est le milieu du segment $[SA]$.
   👉 Conseil : si un point est au milieu d’un segment, le rapport de réduction est automatiquement $k = \dfrac{1}{2}$.

6. Calculons le volume $\mathscr{V}'$ :
   $\mathscr{V}' = k^3 \times \mathscr{V} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 \times 58,320 = \dfrac{1}{8} \times 58,320 = 7,290$
   D’où : $\boxed{\mathscr{V}' = 7,290~\text{mm}^3}$
   👉 Conseil : le volume varie avec le cube du coefficient de réduction ; c’est une idée clé à retenir pour toutes les figures en 3D.

7. Déterminons au bout de combien de temps le niveau de sable est dans la position étudiée :
   Dans la position étudiée, il reste $\dfrac{1}{8}$ du volume initial du sable dans la partie supérieure du sablier.
   Les $\dfrac{7}{8}$ du volume initial se sont donc écoulés (ils sont dans la partie inférieure du sablier).
   Il s’est donc écoulé : $\dfrac{7}{8} \times 4$ minutes, soit $3,5$ minutes (ce qui correspond à $3$ min $30$ s).
   👉 Conseil : garde en tête que, lorsque le volume s’écoule proportionnellement au temps, on peut utiliser directement les rapports de volumes pour trouver la durée.