Volume, agrandissement et réduction

Exercice 1

1. Volume du grand cône :
   $\dfrac{1}{3} \pi R^2 \times h = \dfrac{1}{3} \pi \times R^2 \times SA$
   $\hspace{50pt}= \dfrac{1}{3} \pi \times 7^2 \times 12$
   $\hspace{50pt}= \dfrac{7^2 \times 12}{3}\pi$
   $\hspace{50pt}= \dfrac{49 \times 4 \times 3}{3}\pi$
   D’où : le volume du grand cône est de $196\pi\ \text{cm}^3$.
   👉 Conseil : n’oublie pas que le volume d’un cône dépend du carré du rayon : toute erreur sur $R$ se répercute fortement sur le résultat.

2. Le coefficient permettant de passer du grand cône au petit cône est
   $\left(\dfrac{SA'}{SA}\right)^3 = \left(\dfrac{3}{12}\right)^3 = \left(\dfrac{1}{4}\right)^3 = \dfrac{1}{64}$
   👉 Conseil : pense à mettre le rapport des hauteurs au cube, car le volume varie comme le cube du coefficient de réduction.

3. Volume du petit cône :
   D’après la question 2, le volume du petit cône est égal à
   $196\pi \times \dfrac{1}{64} = \dfrac{49\pi}{16}\ \text{cm}^3$, soit environ $10\ \text{cm}^3$.
   👉 Conseil : vérifie toujours que ton résultat réduit est cohérent : le petit cône doit avoir un volume bien plus petit que le grand.

Exercice 2

Le volume d’une sphère de rayon $r$ est donné par la formule :
$v = \dfrac{4}{3}\pi r^3$

Le volume de la grande sphère de rayon $R$ est donc :
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$

Or on sait que $R = 3r$, donc :
$V = \dfrac{4}{3}\pi (3r)^3$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \times 27r^3$
$V = 27 \times \dfrac{4}{3}\pi r^3$
$V = 27v$

Ainsi, le volume de la grande sphère est 27 fois plus grand que celui de la petite sphère.
👉 Retiens bien que lorsqu’on multiplie le rayon d’une sphère par 3, son volume est multiplié par $3^3 = 27$.

Exercice 3

Le récipient est rempli d'eau jusqu'au niveau maximum indiqué sur le schéma par une flèche.
On note :
$C_{1}$ le grand cône de sommet $S$ et de base le disque de centre $O$ et de rayon $OB$.
$C_{2}$ le petit cône de sommet $S$ et de base le disque de centre $O'$ et de rayon $O'B'$.
On donne : $SO = 12$ cm et $OB = 4$ cm

1. Volume du cône C1 :
   $V_{1} = \dfrac{1}{3} \times \pi r^{2} \times h \ V_{1} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times OB^2 \times SO \ V_1 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 4^2 \times 12 V_1 = 64 \pi \text{ cm}^{3} \text{ valeur exacte}$
   Le volume du cône $C_1$ est 64 $\pi$ cm³.
   👉 Pense à remplacer $r$ par $OB$ et $h$ par $SO$ avant de calculer.

2. a) Le coefficient de cette réduction est $k = \dfrac{SO'}{SO} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$.
   👉 En réduction homothétique, les longueurs sont multipliées par $k$.

3. b) Volume du cône C2 :
   $V_{2} = k^3 \times V_1 = \left( \dfrac{1}{4} \right)^3 \times 64 \pi = \dfrac{1}{64} \times 64 \pi = \pi$
   Le volume du cône $C_2$ est $\pi$ cm³.
   👉 Le volume varie comme le cube du coefficient : $k^3$.

4. a) Volume d'eau contenue dans le récipient :
   L'erlenmeyer est rempli jusqu'à la base du cône $C_2$ donc le volume d'eau présent dans l'erlenmeyer est $V_1 - V_2 = 64\pi - \pi = 63 \pi$.
   Le volume d'eau contenue dans le récipient est 63 $\pi$ cm³.
   👉 Soustrais le volume vide (petit cône) du volume total (grand cône).

   b) $63 \pi \text{ cm}^3 \approx 198 \text{ cm}^3$ (valeur approchée arrondie au cm³ près).
   Il y a donc environ 198 cm³ d'eau.
   👉 Utilise $\pi \approx 3{,}1416$ pour obtenir une valeur décimale.

   $198 \text{ cm}^3 = 0,198 \text{ dm}^3 = 0,198 \text{ L}$
   Or, $0,198 < 0,2$, donc le volume d'eau n'est pas supérieur à $0,2$ L.
   👉 Convertis cm³ → L en divisant par 1000 (car $1$ L $= 1000$ cm³).