Des transformations déjà rencontrées : les symétries

I. Symétrie axiale

On donne ici quelques rappels sur la symétrie axiale vue en sixième.

$1.$ Figures symétriques

Deux figures sont symétriques par rapport à la droite (d) si le pliage suivant la droite (d) les fait se superposer.

$2.$ Construire le symétrique d'une droite

Si (d₂) et (d) sont sécantes, le point d'intersection est son propre symétrique, il suffit de ne choisir qu'un autre point.

$3.$ Médiatrice et symétrie axiale

Si M et M' sont symétriques par rapport à la droite (d), alors (d) est la médiatrice du segment [MM'].

La médiatrice d'un segment est un axe de symétrie de ce segment.

II. Symétrie centrale (par rapport à un point)

On donne ici des rappels de la classe de cinquième.

$1.$ Figures symétriques

Deux figures sont symétriques par rapport à un point $O$ si, en pivotant l'une d'elles d'un demi-tour (180°) autour de $O$, elle se superpose sur l'autre.

$2.$ Symétrique d'un point

Le point $O$ est son propre symétrique par rapport à lui-même.

Pour tracer le symétrique $M'$ de $M$, on trace la droite $(OM)$, puis avec le compas pointé en $O$, on reporte la distance $OM$ de l'autre côté : $M'$ est l'intersection de $(OM)$ et du cercle de centre $O$ et rayon $OM$.

$3.$ Propriétés de la symétrie centrale

Une figure symétrique est superposable à la figure d'origine : la symétrie centrale conserve les aires.

$4.$ Centre de symétrie d'une figure

Un point est le centre de symétrie d'une figure si le symétrique de cette figure par rapport à ce point est la figure de départ.

Cas des figures usuelles :

$\checkmark$ Les triangles n'ont pas de centre de symétrie sauf le cas particulier du triangle équilatéral.

$\checkmark$ Les parallélogrammes (et donc les losanges, rectangles et carrés) ont pour centre de symétrie le point d'intersection de leurs diagonales.

$\checkmark$ Si un quadrilatère a un centre de symétrie, c'est forcément un parallélogramme.

$\checkmark$ Le centre d'un cercle est centre de symétrie de ce cercle.

III. Propriétés des symétries

$\checkmark$ Les symétries conservent l'alignement.

$\checkmark$ Les symétries transforment un segment en un segment de même longueur.

$\checkmark$ Les symétries conservent les longueurs donc les aires.

$\checkmark$ Les symétries conservent le parallélisme.

$\checkmark$ Les symétries conservent les angles.

$\checkmark$ Les symétries transforment un cercle en un cercle de même rayon.

$\checkmark$ Les symétries conservent les aires.