Volumes de solides : bouteille composite et pyramide tronquée

Exercice 1

1. $AB=AC=7,5\text{ cm}$ donc l'aire de la base $ABC$ est égale à $\mathcal{B}=\dfrac{7,5\times 7,5}{2}\text{ cm}^2$.
   👉 Conseil : pour un triangle rectangle isocèle, pense à la formule $A=\dfrac{c\times c}{2}$ si les deux côtés perpendiculaires valent $c$.

Le volume du prisme est donc égal à : $\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times \mathcal{B}\times SH=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{7,5\times 7,5}{2}\times 15=140,625 \approx 141\text{ cm}^3$
👉 Conseil : identifie toujours la « base » (aire) et la « hauteur » (perpendiculaire à la base) avant d’appliquer la formule du volume.

2.a Les plans étant parallèles, $S'MN$ est une réduction de $ABC$. $S'MN$ est donc un triangle rectangle isocèle en $S'$.
👉 Conseil : des plans parallèles conservent les angles ; un triangle rectangle isocèle reste rectangle isocèle après réduction.

2.b Le coefficient de réduction est égal à $\dfrac{SS'}{SA}=\dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5}$
$S'N=\dfrac{2}{5}\times AC=3\text{ cm}$.
👉 Conseil : applique le même coefficient à toutes les longueurs correspondantes ; vérifie l’homogénéité des unités.

3. Le volume du bouchon est égal à $\mathcal{V'}=\left(\dfrac{2}{5}\right)^3\times 140,625=9\text{ cm}^3$
   Le volume de parfum est donc de : $\mathcal{V}-\mathcal{V'}=140,625-9=131,625\text{ cm}^3$.
   👉 Conseil : une réduction de facteur $k$ en longueurs donne un volume multiplié par $k^3$ ; pense au « cube du coefficient ».

Exercice 2

1. Le rayon de la base de la partie cylindrique est égal à 5 cm.
   L'aire de la base vaut : $\pi\times 5^2=25~\pi~\text{cm}^2$
   👉 Conseil : pense toujours à utiliser la formule de l’aire du disque $A = \pi r^2$ avant de calculer un volume de cylindre.

La hauteur du cylindre vaut 15 cm.
Le volume de la partie cylindrique vaut : $V = 25~\pi\times 15 = 375~\pi~\text{cm}^3$
👉 Conseil : pour un cylindre, multiplie simplement l’aire de la base par la hauteur ($V = \pi r^2 h$).

2. a) Le volume du grand cône est égal à :
   $V_1 = \dfrac{1}{3}\times \text{aire de la base}\times \text{hauteur} = \dfrac{1}{3}\times 25~\pi\times6 = 50~\pi~\text{cm}^3$
   👉 Conseil : rappelle-toi que le volume d’un cône est toujours le tiers de celui du cylindre de même base et même hauteur.

Le petit cône de hauteur $SO'$ est une réduction du grand cône de hauteur $SO$.
Le coefficient de réduction est de $\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
👉 Conseil : un coefficient de réduction en longueur devient un cube pour le volume, car le volume dépend des trois dimensions.

Le volume du petit cône est donc : $\left(\dfrac{1}{3}\right)^3\times V_1=\dfrac{1}{27}\times V_1$

Le volume du tronc de cône est donc égal à :
$V_1-\dfrac{1}{27}\times V_1=\dfrac{26}{27}\times V_1=\dfrac{26}{27}\times 50~\pi = \dfrac{1300}{27}\pi~\text{cm}^3\approx 151~\text{cm}^3$
👉 Conseil : vérifie toujours que le volume du tronc de cône est légèrement inférieur à celui du cône complet, c’est un bon moyen de repérer une erreur.

3. 

   Le graphique 4 ne peut pas convenir, car lorsque la hauteur $h$ est nulle, le volume doit être nul, ce qui graphiquement implique que la représentation graphique doit passer par l’origine du repère, ce qui n’est pas le cas ici.
   👉 Conseil : une fonction volume doit toujours démarrer à zéro lorsque la hauteur est nulle.

Le graphique 2 ne peut pas convenir, car plus la hauteur augmente, plus le volume augmente, et la fonction représentée doit être croissante, ce qui n’est pas le cas ici.
👉 Conseil : une fonction volume ne peut être décroissante : plus on remplit, plus le volume augmente.

Le graphique 3 ne peut pas convenir, car entre la hauteur 15 et la hauteur 21, on ne peut pas avoir un volume supérieur au volume de la partie cylindrique inférieure de la bouteille.

Le graphique correct est donc le 1.
👉 Conseil final : pour vérifier un graphique de volume, assure-toi toujours que la courbe passe par l’origine, est croissante et que le volume maximal correspond à la hauteur totale de la bouteille.