Périmètre et aire

Exercice 1

Évaluons le trajet $ACDA$.
Le triangle $ACD$ étant rectangle en $C$, le théorème de Pythagore permet d’écrire :
$AD^2 = AC^2 + CD^2 = 1{,}4^2 + 1{,}05^2 = 3{,}0625$
donc $AD = \sqrt{3{,}0625} = 1{,}75$

Le trajet $ACDA$ a pour longueur :
$AC + CD + DA = 1{,}4 + 1{,}05 + 1{,}75 = 4{,}2\ \text{km}$

👉 Conseil méthode : dès qu’un triangle est indiqué rectangle, pense immédiatement au théorème de Pythagore pour relier les trois côtés.
👉 Astuce vérification : les unités doivent rester les mêmes (ici, tout en km).

Évaluons le trajet $AEFA$.
Dans le triangle $AEF$, on a une configuration de Thalès qui permet d’écrire :
$\dfrac{AE'}{AE} = \dfrac{AF'}{AF} = \dfrac{E'F'}{EF}$

De $\dfrac{AE'}{AE} = \dfrac{E'F'}{EF}$ on obtient :
$\dfrac{0{,}5}{1{,}3} = \dfrac{0{,}4}{EF}$
soit $0{,}5 \times EF = 0{,}4 \times 1{,}3$,
d’où $EF = \dfrac{0{,}4 \times 1{,}3}{0{,}5} = 1{,}04\ \text{km}$

Le trajet $AEFA$ a pour longueur :
$AE + EF + FA = 1{,}3 + 1{,}04 + 1{,}6 = 3{,}94\ \text{km}$

👉 Conseil méthode : écris toujours les rapports dans le même ordre pour ne pas inverser les longueurs dans Thalès.
👉 Astuce : vérifie que le résultat obtenu est cohérent avec la figure (ici $EF$ doit être légèrement supérieur à $E'F'$, ce qui est bien le cas).

$4{,}2 - 4 = 0{,}2\qquad \text{et}\qquad 4 - 3{,}94 = 0{,}06 \qquad \text{mais} \qquad 0{,}06 < 0{,}2$

Le parcours dont la longueur s’approche le plus possible de 4 km est donc le trajet $AEFA$.

👉 Conseil final : compare toujours les écarts à la valeur cible (ici 4 km) pour conclure clairement.

Exercice 2

Données utiles : $OB=6$ m, $OF=4$ m, le grillage suit $BCDEF$ et forme l’enclos rectangulaire $OCDE$. Longueur totale de grillage utilisée : $50$ m.

1. Cas $BC=5$ m et $FE=15$ m
   On calcule les côtés du rectangle.
   $OC=OB+BC=6+5=11$ m.
   $OE=OF+FE=4+15=19$ m.
   Dans le rectangle, $CD=OE=19$ m et $DE=OC=11$ m.
   Périmètre grillagé : $BC+CD+DE+FE=5+19+11+15=50$ m. Les $50$ m sont bien utilisés.
   Aire : $A=OC\times OE=11\times 19=209\ \text{m}^2$.

👉 Conseil : quand des murs servent de côtés, exprime toujours les côtés du rectangle par « mur + portion grillagée » (ici $OC=OB+BC$, $OE=OF+FE$).

2. Vérifier la formule $A(x)=-x^2+18x+144$ avec $x=BC$
   On exprime $OC$ et $OE$ en fonction de $x$.
   $OC=x+6$.
   La longueur grillagée vaut $BC+CD+DE+FE=x+OE+OC+(OE-4)=50$.
   Donc $x+(x+6)+2OE-4=50$, soit $2OE=48-2x$, donc $OE=24-x$.
   Aire : $A(x)=(x+6)(24-x)=-x^2+18x+144$.
   Pour $x=5$, $A(5)=-25+90+144=209$ : cohérent avec la question 1.

👉 Conseil : pour retrouver $OE$, pars de la contrainte « $50$ m de grillage » et remplace chaque segment par son expression en fonction de $x$.

3. Tableur et maximum d’aire

   
   3a) La formule en $F2$ (où $F1$ contient $x=9$) est :
   $=-F1*F1+18*F1+144$.

👉 Astuce tableur : en étirant vers la droite, les références restent relatives (de $B1$ on passe à $C1$, …, $F1$) ; et n'oublie pas le $=$ par lequel une formule tableur commence toujours !

3b) Valeur choisie pour maximiser l’aire : $BC=9$ m (la ligne donne $225$ m$^2$ au maximum).

3c) Dimensions de l’enclos optimal :
$OC=x+6=9+6=15$ m, $OE=24-x=24-9=15$ m.
Donc l’enclos mesure $15$ m par $15$ m (aire $225$ m$^2$).
Vérification du grillage : $BC+CD+DE+FE=9+15+15+(15-4)=50$ m.

👉 Conseil final : termine par une vérification rapide (aire attendue, somme des longueurs, cohérence des unités) pour sécuriser ton résultat.