Réduire ou agrandir un solide

I. Réduction et agrandissement

Lorsque toutes les dimensions d’une figure $F$ sont multipliées par un même nombre $k$, on obtient une figure $F'$ qui vérifie les propriétés suivantes :

$\checkmark$ Si $k$ >$1$, $F'$ est un agrandissement de $F$.

$\checkmark$ Si $0$ < $k$ < $1$, $F'$ est une réduction de $F$.

$\checkmark$ L’aire de $F'$ se calcule en multipliant l’aire de $F$ par $k^2$.

$\checkmark$ Le volume de $F'$ se calcule en multipliant le volume de $F$ par $k^3$.

II. Un exemple rédigé

Partie A

$EFGH$ est la section de la pyramide $SABCD$ par le plan parallèle à la base et telle que $SE=3$ cm.

$1.$ Calculer $EF$ puis $SB$.

$2.$ Calculer le volume de la pyramide $SABCD$. En déduire le volume de $SEFGH$. On donnera une valeur arrondie à l'unité.

Partie B

Soit $M$ un point de $SA$ tel que $SM=x$ cm, où $x$ est comprise entre $0$ et $12$.
On appelle $MNPQ$ la section de la pyramide $SABCD$ par le plan parallèle à la base passant par $M$.

$1.$ Montrer que $MN=0,75x$.

$2.$ Soit $A(x)$ l'aire du carré $MNPQ$ en fonction de $x$.
Montrer que $A(x)=0,5625x^2$.

$3.$ Pour quelle valeur de $x$ l'aire $A(x)$ est-elle égale à l'aire d'une sphère de rayon $1,5$ cm.

Solution

Partie A

$1.$ $EFGH$ est la section de la pyramide $SABCD$ par le plan parallèle à la base et telle que $SE=3$ cm. Par conséquent, la pyramide $SEFGH$ est une réduction de la pyramide $SABCD$ de rapport $k=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$.
Donc $EF=\dfrac{1}{4}AB = 2,25$ cm.

Dans le triangle $SAB$ est rectangle en $A$.
D'après le théorème de Pythagore on a $SB^2=SA^2+AB^2$.
Donc $SB^2=144+81=225$ et $SB=\sqrt{225}=15$.

$2.$ Le volume de $SABCD$ est $\mathscr{V}=\dfrac{AB^2\times SA}{3}=324$ cm$^3$.

Le volume de la pyramide $SEFGH$ est donc :
$\mathscr{V}' = \left(\dfrac{1}{4}\right)^3\mathscr{V} = \dfrac{81}{16} \approx 5$ cm$^3$.

Partie B

$1.$ La pyramide $SMNPQ$ est une réduction de rapport $k=\dfrac{x}{12}$ de la pyramide $SABCD$.
Par conséquent $MN=\dfrac{x}{12}\times AB=0,75x$.

$2.$ Ainsi $MNPQ$ est un carré et son aire est $A(x)=(0,75x)^2=0,5625x^2$.

$3.$ L'aire de la sphère de rayon $1,5$ cm est $A'=4\pi\times 1,5^2=9\pi$ cm$^2$.
On veut donc résoudre $0,5625x^2=9\pi$ soit $x^2=\dfrac{9\pi}{0,5625}=16\pi$.
Puisque $x\ge 0$ on a $x=4\sqrt{\pi}$ cm.