Triangle rectangle et droites parallèles en géométrie plane : problème de synthèse

Les points $S$, $P$, $E$ et $B$ sont alignés ainsi que les points $N$, $P$, $C$ et $M$.
Les droites $(MB)$ et $(NS)$ sont parallèles.
On donne : $PM = 12$ cm, $MB = 6,4$ cm ; $PB = 13,6$ cm et $PN = 9$ cm.

• Démontrons que le triangle $PBM$ est rectangle :
  On a : $PB^2 = 13,6^2 = 184,96$
  et $MP^2 + MB^2 = 12^2 + 6,4^2 = 184,96$
  Comme $PB^2 = MP^2 + MB^2$, alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle PBM est rectangle en M.
  👉 Conseil : vérifie bien les carrés des longueurs avant de conclure avec la réciproque de Pythagore.

• Déduisons-en la mesure de l'angle $\widehat{\text{PBM}}$ :
  Dans le triangle $PBM$ est rectangle en $M$, nous avons :
  $\cos \widehat{\text{PBM}} = \dfrac{\text{BM}}{\text{PB}} = \dfrac{6,4}{13,6}$
  D'où : $\widehat{\text{PBM}} = \cos^{-1}\left(\dfrac{6,4}{13,6}\right) \approx 61,9$
  L'angle $\widehat{\text{PBM}}$ mesure au degré près $62^\circ$.
  👉 Conseil : règle ta calculatrice en degrés et arrondis seulement à la fin.

• Calculons la longueur $NS$ :
  Comme les points S, P et B sont alignés ainsi que les points N, P et M et que les droites (MB) et (NS) sont parallèles, d'après le théorème de Thalès, nous avons :
  $\dfrac{\text{NS}}{\text{BM}} = \dfrac{\text{PN}}{\text{PM}}$
  $\dfrac{\text{NS}}{6,4} = \dfrac{9}{12}$
  $NS = \dfrac{9}{12} \times 6,4 = 4,8$
  La longueur $NS$ est égale à $4,8$ cm.
  👉 Conseil : écris les rapports dans le même ordre (correspondance des côtés homologues) pour éviter les inversions.

• Déterminons si les droites $(CE)$ et $(MB)$ sont parallèles ou non :
  Pour savoir si les droites $(CE)$ et $(MB)$ sont parallèles, il suffit de regarder si $\dfrac{\text{PS}}{\text{PE}} = \dfrac{\text{PN}}{\text{PC}}$.
  Il nous faut donc connaître la longueur PS. Or, pour les mêmes raisons que précédemment, nous avons :
  $\dfrac{\text{PS}}{\text{PB}} = \dfrac{\text{PN}}{\text{PM}}$
  $\dfrac{\text{PS}}{13,6} = \dfrac{9}{12}$
  $NS = \dfrac{9}{12} \times 13,6 = 10,2$
  Ainsi nous avons :
  $\dfrac{\text{PS}}{\text{PE}} = \dfrac{10,2}{3,4} = 3 \quad \text{ et } \quad \dfrac{\text{PN}}{\text{PC}} = \dfrac{9}{3} = 3$
  Les points P, E et B d'une part et P, C et M d'autre part sont alignés dans le même ordre.
  Comme $\dfrac{\text{PS}}{\text{PE}} = \dfrac{\text{PN}}{\text{PC}}$, d'après la réciproque du théorème de Thalès, nous pouvons affirmer que les droites $(CE)$ et $(MB)$ sont parallèles.
  👉 Conseil : pour appliquer la réciproque de Thalès, vérifie l’alignement des points, l’ordre de correspondance et l’égalité des rapports.