D'un carré à un rectangle : tangente, Thalès et aire

Première partie : étude de la figure donnée en annexe 1

1. $OABC$ est un carré de côté $7$ cm, donc son aire est $\mathcal{A}=7^2=49$ soit 49 cm2.

2. Dans le triangle $OEC$ rectangle en $O$, on a : $\displaystyle \tan\left(\widehat{OEC}\right)=\frac{OC}{OE}=\frac{7}{7+2}=\boxed{\displaystyle\frac{7}{9}}$.
   On en déduit alors $\widehat{OEC}=37,8\dots^\circ$ soit environ 38° (arrondi au degré).

3. Le quadrilatère $OABC$ étant un carré, c'est en particulier un parallélogramme.
   Donc les droites $(OA)$ et $(BC)$ sont donc parallèles.
   Ainsi, les angles alternes-internes $\widehat{OEC}$ et $\widehat{ECB}$ sont égaux.
   Finalement : $\boxed{\displaystyle \widehat{ECB}\simeq 38^\circ}$.

Deuxième partie: construction d'un rectangle sur la figure de l'annexe 1

1. On a la figure suivante :
   

2. a) Les points $O$, $M$, $C$ et $O$, $A$, $E$ sont respectivement alignés dans cet ordre.
   De plus, par construction, les droites $(AM)$ et $(EC)$ sont parallèles.
   Ainsi, d'après le théorème de Thalès, on a: $\displaystyle\boxed{\displaystyle\frac{OM}{OC}=\frac{OA}{OE}}=\frac{AM}{EC}$.

   b) D'après l'égalité établie à la question précédente, on a :
   $\displaystyle OM=\frac{OA\times OC}{OE}=\frac{7\times7}{9}=\boxed{\displaystyle\frac{49}{9}\,{\rm cm}}$

   c) On a : $\mathcal{A}(OMNE)=OE\times OM=9\times\frac{49}{9}=49$ soit 49 cm2.
   Or, d'après le résultat de la question 1. de la partie précédente, $\mathcal{A}(OABC)=49\,{\rm cm}^2$ également.
   Donc l'aire du rectangle $OMNE$ est égale à l'aire du carré $OABC$.

Troisième partie : Construction d'un rectangle de même aire qu'un carré

D'après les mesures données dans l'énoncé, $A$ est le milieu du segment $[OE]$.
Autrement dit, le rectangle $OMNE$ possède un côté deux fois plus grand que le côté du carré $OABC$.
Or, ces deux quadrilatères ont même aire, donc nécessairement la largeur du rectangle doit être deux fois plus petite que l'aire du carré.
Autrement dit, $M$doit être le milieu du segment $[OC]$.

On obtient la figure suivante :

Remarque : On peut également s'en convaincre numériquement en calculant l'aire du carré $OABC$ (ici, 25 cm²), puis en exprimant l'aire du rectangle $OMNE$ en fonction de $OM$ pour en déduire la position du point $M$. On trouve (évidemment) le même résultat !

👉 Pense à repérer systématiquement les parallélismes pour appliquer Thalès proprement et à encadrer tes égalités de rapports avant de passer au calcul numérique.