Trigonométrie et Thalès pour une voiture

1. Le point $K$ appartient au segment $[QC]$, donc :
   $QK = QC - KC = 0{,}65 - 0{,}58 = 0{,}07\ \text{m}$

On a donc :
$\dfrac{QK}{QP} = \dfrac{0{,}07}{5} = 0{,}014$

Les feux de croisement de Pauline sont réglés avec une inclinaison égale à $0{,}014$.
👉 Conseil : vérifie toujours que les unités sont cohérentes avant de calculer un rapport (ici, toutes les longueurs sont en mètres).
👉 Remarque : l’inclinaison trouvée est bien comprise entre $0{,}01$ et $0{,}015$, donc les feux sont conformes.

2. Dans le triangle $QPK$ rectangle en $Q$, on a :
   $\tan \widehat{QPK} = \dfrac{QK}{PQ} = \dfrac{0{,}07}{5}$

Donc :
$\widehat{QPK} = \tan^{-1}\left(\dfrac{0{,}07}{5}\right) \approx 0{,}8^\circ$

L’angle $\widehat{QPK}$ mesure environ $0{,}8^\circ$ (valeur arrondie au dixième de degré).
👉 Astuce : quand tu obtiens un rapport très petit, l’angle est forcément très petit aussi (ici, moins d’un degré).
👉 Conseil : pense à bien mettre ta calculatrice en mode degrés pour éviter les erreurs d’unité.

3. On sait que les droites $(AP)$ et $(KC)$ sont toutes deux perpendiculaires à la droite $(AC)$.
   Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles.
   Donc, les droites $(AP)$ et $(KC)$ sont parallèles.

Les droites $(PK)$ et $(AC)$ sont sécantes en $S$.
D’après le théorème de Thalès, on a :
$\dfrac{SC}{SA} = \dfrac{SK}{SP} = \dfrac{KC}{AP}$

Soit :
$\dfrac{SC}{SC + 5} = \dfrac{KC}{AP} = \dfrac{0{,}58}{0{,}65}$

De $\dfrac{SC}{SC + 5} = \dfrac{0{,}58}{0{,}65}$, on déduit :
$SC \times 0{,}65 = 0{,}58 \times (SC + 5)$
$0{,}65SC = 0{,}58SC + 2{,}9$
$0{,}07SC = 2{,}9$
$SC = \dfrac{2{,}9}{0{,}07} = 41{,}43$

Donc $SC \approx 41\ \text{m}$.

Enfin :
$SA = SC + CA \approx 41 + 5 = 46$

La distance $AS$ d’éclairage des feux est donc d’environ 46 m (valeur arrondie au mètre).
👉 Conseil méthode : quand tu appliques Thalès, vérifie toujours l’ordre des points pour ne pas inverser les rapports.
👉 Astuce finale : un bon schéma avec les droites parallèles et les segments bien nommés t’évite la moitié des erreurs dans ce type de problème.