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Le mot réciproque signifie qu'on va partir de la conclusion du théorème, c'est-à-dire l'égalité, et qu'on va essayer de retrouver les données d'application, à savoir le fait que le triangle est rectangle.

I. Réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle ABC on constate que : $BC^2 = AB^2 + AC^2$
alors le triangle est rectangle en A.

$\boxed{\begin{array}{l} \textbf{Données : }BC^2=AB^2+AC^2 \\\textbf{Conclusion : le triangle est rectangle en A} \end{array}}$

II. Exemple

On considère le triangle $ABC$ tel que $AB = 5$ cm, $BC = 12$ cm et $AC = 13$ cm.
Dans ce triangle, le plus grand côté est $[AC]$ .

D'une part : calculons le carré de la longueur de ce plus grand côté.
$AC^2 = 13^2 = 169$

D'autre part : calculons la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
$AB^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

On constate donc que : $AC^2 = AB^2 + BC^2$

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

III. Différence entre théorème et réciproque du théorème

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I. Réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle ABC on constate que :

BC^2 = AB^2 + AC^2

alors le triangle est rectangle en A.

$\boxed{\begin{array}{l} \textbf{Données : }BC^2=AB^2+AC^2 \\\textbf{Conclusion : le triangle est rectangle en A} \end{array}}$

II. Exemple

On considère le triangle

ABC

tel que

AB = 5

cm,

BC = 12

cm et

AC = 13

cm.
Dans ce triangle, le plus grand côté est

[AC]

D'une part : calculons le carré de la longueur de ce plus grand côté.

AC^2 = 13^2 = 169

D'autre part : calculons la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

AB^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169

On constate donc que :

AC^2 = AB^2 + BC^2

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

III. Différence entre théorème et réciproque du théorème

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