Le cosinus

Conseil : toujours commencer par repérer l'angle droit, et le noter sur la figure, noter également l'hypoténuse en face de l'angle droit.

I. Angles aigus et côtés adjacents

Cette leçon se place obligatoirement dans un triangle rectangle.

Dans le triangle ABC rectangle en A, l'hypoténuse est le côté BC. Le côté AB est le côté adjacent à l'angle. De même, le côté AC est le côté adjacent à l'angle $\widehat{ACB}$.

II. Cosinus d'un angle aigu

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent par la longueur de l'hypoténuse.

Le cosinus permet de calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle quand on connaît l'angle et la longueur de l'autre côté.
Il permet également de calculer la mesure de l'angle quand on connaît les longueurs du côté adjacent et de l'hypoténuse.

III. Propriété du cosinus

Le cosinus comme quotient de deux longueurs n'a pas d'unité, il est strictement positif (quotient de nombres strictement positifs) et strictement inférieur à 1 (car dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est toujours plus grande que les côtés adjacents).

Le cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est un nombre compris strictement entre 0 et 1.

IV. Calculer un angle quand on connaît des longueurs

Utilisation de la calculatrice

Il faut mettre la calculatrice en mode degrés (il y a d'autres mesures d'angle que le degré). Le symbole DEG apparaît sur l'écran (sinon, il y a RAD ou GRA).

Pour obtenir le cosinus d'un angle, on utilise la touche COS de la calculatrice.

Exemple :

ABC est rectangle en A. AB = 12 et $\widehat{ABC} = 20°$
Combien mesure BC ?

Solution :

On a : $\cos(20°) = \dfrac{AB}{BC}$, faisons un produit en croix
$BC \times \cos(20°) = AB$
$BC = \dfrac{AB}{\cos(20°)} = \dfrac{12}{\cos(20°)}$

Avec la calculatrice, on obtient $BC \approx 12,77$ arrondi au centième.

V. Calculer un angle connaissant des longueurs

Utilisation de la calculatrice :

Pour obtenir la mesure d'un angle dont on connaît le cosinus, on appuie d'abord sur la touche SECONDE ou 2nde puis sur la touche COS, ou cos^-1 suivant les modèles.

Exemple :

$ABC$ est rectangle en $A$.

$AB = 15$ et$BC = 19$. Combien mesure $\widehat{ABC}$ ?

On a : $\cos\widehat{(ABC)} = \dfrac{BA}{BC}=\dfrac{15}{19}$

Avec la calculatrice, on obtient $\widehat{ABC} \approx 37,9°$ arrondi au dixième de degré.