Cosinus, sinus et tangente

Cette leçon se place obligatoirement dans un triangle rectangle.

Pré requis

Cette leçon complète celle vue en quatrième sur le cosinus d'un angle. Il est donc important d'avoir bien compris le processus permettant de calculer un angle ou une longueur à partir du cosinus d'un angle dans un triangle. Tu verras, avec cette fiche, la définition du sinus et de la tangente d'un angle qui fonctionne sur le même principe que le cosinus. Tu seras amené, parfois, à résoudre des équations liées à la proportionnalité. Il faut donc maîtriser les techniques de calculs qui y sont liées.

Enjeu

Cette leçon va te permettre de déterminer des angles ou des longueurs que tu ne pouvais, pour l'instant, pas calculer.

I. Les formules

Le sinus s'écrit $\sin$, le cosinus $\cos$ et la tangente $\tan$.

II. Relation entre cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu

$1.$ Calculons $\dfrac{\sin \widehat{(\text{angle})}}{\cos \widehat{(\text{angle})}} = \dfrac{\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}}{\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}} = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \times \frac{\text{hypoténuse}}{\text{adjacent}}$

$\dfrac{\sin \widehat{(\text{angle})}}{\cos \widehat{(\text{angle})}} =\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}=\tan \widehat{\text{angle}}$

On en déduit que :

$\boxed{ \tan \widehat{\text{angle}}=\dfrac{\sin \widehat{\text{angle}}}{\cos \widehat{\text{angle}}}}$

Ce qui peut s'écrire : Pour tout angle aigu de mesure $x$ : $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$

Grâce au théorème de Pythagore, on peut démontrer que :

$\boxed{\text{Pour tout angle aigu }x\; ,\; \cos^2 x + \sin^2 x = 1 }$

Remarque : $\cos^2 x+\sin^2 x = 1$ est en réalité l'écriture abusive mais habituelle de $(\cos x)^2+(\sin x)^2=1$.

III. Calculer un angle

Soit un triangle MNP rectangle en N tel que $MN=5$ et $NP=3$. Que vaut l'angle $\widehat{NMP}$ ?

La première chose à faire est de réaliser un croquis à main levée.

On connaît le côté adjacent à $\widehat M$ ainsi que son côté opposé.

$\tan \widehat M=\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}=\dfrac 35$

A l'aide de la calculatrice réglée en degrés, on trouve $\widehat M\approx 31^\circ$.

IV. Calculer une longueur

On considère un triangle $ABC$ tel que : $AC=4$ cm , $(AH)$ soit la hauteur issue de $A$ , $HB=5$ cm , $\widehat{BCA}=37°$

La figure n'est pas à l'échelle.

Calculer $AH$.

Solution :

Dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$, on utilise la relation trigonométrique du sinus :
$\sin \widehat{BCA} = \dfrac{AH}{AC}$

En remplaçant les valeurs connues : $\sin 37° = \dfrac{AH}{4}$

On isole $AH$ : $AH = 4 \times \sin 37°$

Avec la calculatrice :
$AH \approx 4 \times 0.6018$
$AH \approx 2.41$ cm (arrondi au centième).