Révisions sur le calcul numérique (1)

Exercice 1

$A = \left(\dfrac{5}{4} - \dfrac{7}{6}\right) : \left(\dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{2}\right) = \left(\dfrac{5 \times 3}{4 \times 3} - \dfrac{7 \times 2}{6 \times 2}\right) : \left(\dfrac{1}{6} - \dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} \right)$

$A = \left(\dfrac{15}{12} - \dfrac{14}{12}\right) : \left(\dfrac{1}{6} - \dfrac{3}{6} \right) = \dfrac{1}{12} : \left(-\dfrac{2}{6}\right)$

$A = \dfrac{1}{12} : \left(-\dfrac{2}{2 \times 3}\right) = \dfrac{1}{12} : \left(-\dfrac{1}{3}\right)$

$A = \dfrac{1}{12} \times \left(-\dfrac{3}{1}\right) = -\dfrac{3}{12}$

$A = -\dfrac{3}{3 \times 4} = -\dfrac{1}{4}$

$B = \dfrac{1 - \dfrac{1}{2}}{1 + \dfrac{1}{2}} = \dfrac{\dfrac{2}{2} - \dfrac{1}{2}}{\dfrac{2}{2} + \dfrac{1}{2}}$

$B = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3}$

$B = \dfrac{1 \times 2}{2 \times 3} = \dfrac{1}{3}$

$C = \left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1 \times 2}{2 \times 2}\right)^2 + \left(\dfrac{3}{8} - \dfrac{1 \times 2}{4 \times 2}\right)^2 = \left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{3}{8} - \dfrac{2}{8}\right)^2$

$C = \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{8}\right)^2 = \dfrac{1^2}{4^2} + \dfrac{1^2}{8^2}$

$C = \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{64} = \dfrac{1 \times 4}{16 \times 4} + \dfrac{1}{64}$

$C = \dfrac{4}{64} + \dfrac{1}{64} = \dfrac{5}{64}$

$F = \dfrac{81}{100}$

Exercice 2

$A = \dfrac{2}{4} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{6}$
$A = \dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{5}{6}$
$A = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$

$B = \dfrac{5}{12} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{12} - \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3}$
$B = \dfrac{5}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{2}{12}$
$B = \dfrac{1}{6}$

$C = \dfrac{5}{18} - \dfrac{7}{9} = \dfrac{5}{18} - \dfrac{7 \times 2}{9 \times 2}$
$C = \dfrac{5}{18} - \dfrac{14}{18} = -\dfrac{9}{18}$
$C = -\dfrac{1}{2}$

$D = \dfrac{4}{15} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{15} + \dfrac{2 \times 3}{5 \times 3}$
$D = \dfrac{4}{15} + \dfrac{6}{15} = \dfrac{10}{15}$
$D = \dfrac{2}{3}$

$E = \dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{3}$
$E = \dfrac{4}{3}$

$F = \dfrac{-3}{7} - \dfrac{1}{14} = \dfrac{-3 \times 2}{7 \times 2} - \dfrac{1}{14}$
$F = \dfrac{-6}{14} - \dfrac{1}{14} = \dfrac{-7}{14}$
$F = -\dfrac{1}{2}$

$G = 2 - \dfrac{-3}{1} = 2 + 3 = 5$

$H = \dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2 \times 2}{9 \times 2} + \dfrac{1 \times 3}{6 \times 3}$
$H = \dfrac{4}{18} + \dfrac{3}{18} = \dfrac{7}{18}$

$I = \dfrac{9}{15} - \dfrac{-7}{10} = \dfrac{9 \times 2}{15 \times 2} - \dfrac{-7 \times 3}{10 \times 3}$
$I = \dfrac{18}{30} + \dfrac{21}{30} = \dfrac{39}{30}$
$I = \dfrac{13}{10}$

$J = -8 + \dfrac{1}{4} = -\dfrac{8 \times 4}{4} + \dfrac{1}{4}$
$J = -\dfrac{32}{4} + \dfrac{1}{4} = -\dfrac{31}{4}$

$K = \dfrac{5}{30} + \dfrac{2}{15} = \dfrac{5}{30} + \dfrac{2 \times 2}{15 \times 2}$
$K = \dfrac{5}{30} + \dfrac{4}{30} = \dfrac{9}{30} = \dfrac{3}{10}$

$L = \dfrac{-1}{14} + \dfrac{-2}{21} = \dfrac{-1 \times 3}{14 \times 3} + \dfrac{-2 \times 2}{21 \times 2}$
$L = \dfrac{-3}{42} + \dfrac{-4}{42} = \dfrac{-7}{42}$
$L = -\dfrac{1}{6}$

Exercice 3

$A = \dfrac{10}{3} : \dfrac{4}{9} = \dfrac{10}{3} \times \dfrac{9}{4}$
$A = \dfrac{2 \times 5 \times 3 \times 3}{3 \times 2 \times 2} = \dfrac{5 \times 3}{2}$
$A = \dfrac{15}{2}$

$B = -14 \times \dfrac{-2}{21} = \dfrac{7 \times 2 \times 2}{7 \times 3}$
$B = \dfrac{2 \times 2}{3} = \dfrac{4}{3}$

$C = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{16}{9} = \dfrac{3 \times 4 \times 4}{4 \times 3 \times 3}$
$C = \dfrac{4}{3}$

$D = \dfrac{35}{6} : \dfrac{14}{15} = \dfrac{35}{6} \times \dfrac{15}{14}$
$D = \dfrac{7 \times 5 \times 3 \times 5}{3 \times 2 \times 7 \times 2} = \dfrac{5 \times 5}{2 \times 2}$
$D = \dfrac{25}{4}$

$E = \dfrac{8}{45} \times \dfrac{-3}{2} \times \dfrac{25}{-24} = \dfrac{8 \times 3 \times 25}{45 \times 2 \times 24}$
$E = \dfrac{8 \times 3 \times 5 \times 5}{5 \times 9 \times 2 \times 3 \times 8} = \dfrac{5}{9 \times 2}$
$E = \dfrac{5}{18}$

$F = 3 \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{3 \times 8}{3 \times 3}$
$F = \dfrac{8}{3}$

$G = 15 : \dfrac{25}{3} = 15 \times \dfrac{3}{25}$
$G = \dfrac{5 \times 3 \times 3}{5 \times 5} = \dfrac{9}{5}$

$H = \dfrac{9}{-25} \times \dfrac{75}{-36} = \dfrac{3 \times 3 \times 3 \times 25}{25 \times 3 \times 3 \times 4}$
$H = \dfrac{3}{4}$

$I = \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4}\right) \times \dfrac{16}{9} = \left(\dfrac{1 \times 2}{2 \times 2} - \dfrac{3}{4}\right) \times \dfrac{16}{9}$
$I = \left(\dfrac{2}{4} - \dfrac{3}{4}\right) \times \dfrac{16}{9} = -\dfrac{1}{4} \times \dfrac{16}{9}$
$I = -\dfrac{1 \times 4 \times 4}{4 \times 9} = -\dfrac{4}{9}$

$J = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4} \times \dfrac{16}{9} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3 \times 4 \times 4}{4 \times 3 \times 3}$
$J = \dfrac{1}{2} - \dfrac{4}{3} = \dfrac{3}{6} - \dfrac{8}{6}$
$J = -\dfrac{5}{6}$

$K = \dfrac{1}{5} - \dfrac{3}{10} \times \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{5} - \dfrac{3 \times 1}{10 \times 2 \times 3} + \dfrac{1}{2}$
$K = \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{20} - \dfrac{1}{20} + \dfrac{10}{20}$
$K = \dfrac{13}{20}$

$L = \left(\dfrac{1}{5} - \dfrac{3}{10}\right) \times \left(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2} \right) = \left(\dfrac{2}{10} - \dfrac{3}{10}\right) \times \left(\dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{6} \right)$
$L = -\dfrac{1}{10} \times \dfrac{4}{6} = -\dfrac{1}{10} \times \dfrac{2}{3}$
$L = -\dfrac{1 \times 2}{2 \times 5 \times 3} = -\dfrac{1}{5 \times 3}$
$L = -\dfrac{1}{15}$

Exercice 4

1. Déterminons la fraction de la masse de la préparation représentant la masse d'oeufs :

$\displaystyle{1 - \frac{1}{4} - \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} - \frac{9}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{4}}$
$= \displaystyle{1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} - \frac{3}{4} \times \frac{1}{1} \times \frac{1}{2}}$
$= \displaystyle{1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} - \frac{3}{8}}$
$= \displaystyle{\frac{24}{24} - \frac{6}{24} - \frac{4}{24} - \frac{9}{24}}$
$= \displaystyle{\frac{24-6-4-9}{24}}$
$= \displaystyle{\frac{5}{24}}$

La masse d'oeufs représente les $\displaystyle \frac{5}{24}$ de la masse de la préparation.

Explications :

• Masse de la farine : la masse de farine représente le quart de la masse de la préparation, soit $\dfrac{1}{4}$

• Masse du sucre : la masse de sucre représente les deux tiers de la masse de farine, soit $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4}$

• Masse de lait : la masse de lait représente les neuf quarts de la masse de sucre, soit $\dfrac{9}{4} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4}$

2. Sachant qu'il y a environ 300 grammes de pâte, la masse des oeufs est :
   $\dfrac{5}{24} \times 300 = 62,5$

Il y a environ 62,5 g d'oeuf dans cette préparation.
Sachant qu'un oeuf pèse environ 30 grammes, nous pouvons en conclure qu'il y a deux oeufs dans cette préparation.