Les fractions : ce que je sais déjà

I. Fractions égales

Si on multiplie ou si on divise le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre non nul, on obtient une fraction égale.

Avec $k$ et $b$ non nuls, on a : $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k}$ et $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a : k}{b : k}$

Exemples :
$\dfrac{3}{7} = \dfrac{3 \times 5}{7 \times 5} = \dfrac{15}{35}$    $\dfrac{25}{100} = \dfrac{25 : 25}{100 : 25} = \dfrac{1}{4}$

II. Addition de deux fractions

Pour additionner deux fractions, il faut si besoin remplacer les fractions par des fractions égales pour que les deux termes aient le même dénominateur.
On dit qu'on réduit au même dénominateur.
Le résultat est une fraction dont le dénominateur est le dénominateur des deux fractions, et le numérateur la somme des numérateurs.

$\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}$

Exemples :

$\checkmark\quad A = \frac{1}{7} + \frac{3}{35}$

Comme $7 \times 5 = 35$, on peut réduire les deux fractions au dénominateur $35$.
On transforme la fraction $\frac{1}{7}$ en multipliant le numérateur et le dénominateur par $5$, soit $\dfrac{1}{7} = \dfrac{5}{35}$ et on ne change pas la deuxième fraction.

$A = \dfrac{1}{7} + \dfrac{3}{35} = \dfrac{5}{35} + \dfrac{3}{35} = \dfrac{5 + 3}{35} = \dfrac{8}{35}$

$\checkmark\quad B = \dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{9}$

On cherche un commun multiple à $4$ et $9$, le plus petit est le produit des dénominateurs $4 \times 9 = 36$

$B = \dfrac{3 \times 9}{4 \times 9} + \dfrac{2 \times 4}{9 \times 4} = \dfrac{27}{36} + \dfrac{8}{36} = \dfrac{27 + 8}{36} = \dfrac{35}{36}$

$\checkmark\quad C = 2 + \dfrac{3}{5}$

Si un terme est un nombre entier, le transformer en fraction, ici $2 = \dfrac{10}{5}$, d'où $C = \dfrac{10 + 3}{5} = \dfrac{13}{5}$

III. Soustraction de deux fractions

Comme pour l'addition, il faut le même dénominateur pour effectuer la soustraction. La différence de deux fractions de même dénominateur a pour numérateur la différence des numérateurs :

$\dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a - b}{c}$

Exemples :

$A = \dfrac{7}{12} - \dfrac{2}{15}$

On réduit au même dénominateur : $12 = 3 \times 4$ et $15 = 3 \times 5$, on choisit $3 \times 4 \times 5 = 60$

$\dfrac{7 \times 5}{12 \times 5} - \dfrac{2 \times 4}{15 \times 4} = \dfrac{35}{60} - \dfrac{8}{60} = \dfrac{27}{60}$

On remarque que $27$ et $60$ sont divisibles par $3$, on peut simplifier le résultat :
$A = \dfrac{27}{60} = \dfrac{27 : 3}{60 : 3} = \dfrac{9}{20}$