Des suites géométriques (3)

Exercice 1

$u_4 = u_1 q^3 = 3 \times (-2)^3 = 3 \times (-8) = -24$
Donc : $u_4 = -24$

$u_8 = u_1 q^7 = 3 \times (-2)^7 = 3 \times (-128) = -384$
Donc : $u_8 = -384$

$u_{12} = u_1 q^{11} = 3 \times (-2)^{11} = 3 \times (-2048) = -6144$
Donc : $u_{12} = -6144$

Exercice 2

Déterminons $q$ :
$u_7 = u_3 q^4$, donc $q^4 = \dfrac{u_7}{u_3} = \dfrac{18}{2} = 9$.
Donc $q^2 = 3$. On a alors deux possibilités pour la raison $q$ : $q = -\sqrt{3}$ ou $q = \sqrt{3}$.

Si $q = -\sqrt{3}$, alors :
$u_3 = u_0 q^3$, donc $u_0 = \frac{u_3}{q^3} = \dfrac{2}{(-\sqrt{3})^3}$
$u_0 = -\dfrac{2}{3\sqrt{3}} = -\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$
$u_{15} = u_0 q^{15} = -\dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times (-\sqrt{3})^{15} = 1458$
$u_{20} = u_0 q^{20} = -\dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times 3^{10} = -13~122\sqrt{3}$
Donc : $u_0 = -\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$, $u_{15} = 1458$, $u_{20} = -13~122\sqrt{3}$

Si $q = \sqrt{3}$, alors :
$u_3 = u_0 q^3$, donc $u_0 = \dfrac{u_3}{q^3} = \dfrac{2}{(\sqrt{3})^3}$
$u_0 = \dfrac{2}{3\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{9}$
$u_{15} = u_0 q^{15} = 1458$
$u_{20} = u_0 q^{20} = 13,122\sqrt{3}$
Donc : $u_0 = \dfrac{2\sqrt{3}}{9}$, $u_{15} = 1458$, $u_{20} = 13,122\sqrt{3}$

Exercice 3

Si $(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0$ et de raison $b$, alors pour tout entier $n$ : $v_n = v_0 b^n$.

1. Si $(v_n)$ est croissante et ses termes sont strictement négatifs, alors
   $0 < \dfrac{v_{n+1}}{v_n} < 1$, c'est-à-dire $0 < b < 1$.

2. $v_1 v_3 = v_1^2 b^2$ et
   $v_1 + v_2 + v_3 = v_1 \dfrac{1-b^3}{1-b}$ ; $1 - b^3 = (1 - b)(1 + b + b^2)$
   On obtient donc le système :
   $\left\lbrace \begin{matrix} v_1^2 b^2 &=& \dfrac{4}{9} \\ v_1(1 + b + b^2) &=& -\dfrac{19}{9} \end{matrix} \right.$

   
   soit encore :
   $\left\lbrace \begin{matrix} v_1 b &=& \pm \dfrac{2}{3} \\ \pm \dfrac{2(1+b+b^2)}{3b} &=& -\dfrac{19}{9} \end{matrix} \right.$
   Soit $6b^2 + 25b + 6 = 0$ ou $6b^2 - 13b + 6 = 0$
   La première équation a deux solutions négatives (cf première question).
   Donc $b = \dfrac{2}{3}$.
   $v_1 = -1$ ; $v_2 = \dfrac{-2}{3}$ ; $v_3 = \dfrac{-4}{9}$.

Exercice 4

$S = 2 + 6 + 18 + ... + 118 098$
$S$ est la somme des premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3.
$u_0 = 2$ ; $u_1 = 2 \times 3$ ; $u_2 = 2 \times 3^2$ ... $118 098 = 2 \times 59 049 = 2 \times 3^{10}$.

$S = u_0 + u_1 + ... + u_{10} = u_0 \dfrac{1-3^{11}}{1-3} = 177~146$

$S' = 2 + \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{9} + ... + \dfrac{2}{59049}$
$S'$ est la somme des premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 2 et de raison $\dfrac{1}{3}$.
De plus : $59049 = 3^{10}$. Donc
$S' = 2\dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^{11}}{1 - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{177146}{59049}$