Les suites géométriques

I. Définition

Une suite $(u_n)$ est géométrique s’il existe $q \neq 0$ tel que : $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n \times q$
Le nombre $q$ est appelé raison de la suite.

Exemple : La suite $2, 4, 8, 16, 32, 64$ est une suite géométrique de raison $2$.

Méthode :
Pour établir qu’une suite est géométrique, on peut conjecturer en calculant $\dfrac{u_1}{u_0}$, puis $\dfrac{u_2}{u_1}$.
Si on obtient à chaque fois le même nombre réel (la raison), alors la conjecture semble vraie.
On calcule ensuite dans le cas général le quotient de deux termes consécutifs : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$, et on établit ainsi que ce quotient est constant.

Attention cependant : pour avoir le droit d'utiliser cette rédaction, il ne faut pas oublier de démontrer que tous les termes de la suite sont bien non nuls si cela n'est pas indiqué dans l'énoncé.

Une autre rédaction possible : une fois la recherche effectuée au brouillon, il est toujours possible pour éviter d'avoir des quotients de le rédiger en utilisant ce qu'on a découvert mais ainsi

Pour tout $n$, $u_{n+1}=\dots = \dots =\dots =q\times u_n$.

II. Terme général d’une suite géométrique

Propriété :

Si l’on connaît la raison de la suite ainsi qu’un terme (ici, on prend le terme de rang $p$), alors nous pouvons calculer n’importe quel terme à partir de la formule suivante :
$\forall n \in \mathbb{N}, u_n = u_p \times q^{n - p}$

En particulier :

• Si $p = 0$, on a : $u_n = u_0 \times q^n$

• Si $p = 1$, on a : $u_n = u_1 \times q^{n - 1}$

Démonstration :

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q \neq 0$ et de premier terme $u_0$.

On a alors :

$u_1 = q \times u_0$

$u_2 = q \times u_1 = q \times q \times u_0 = q^2 \times u_0$

$u_3 = q \times u_2 = q \times q^2 \times u_0 = q^3 \times u_0$

$\vdots$

$u_n = q^n \times u_0$

Exemple :

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $3$ et de premier terme $u_0 = 5$.

Alors, pour tout entier naturel $n$ :

$u_n = 5 \times 3^n$.

III. Sens de variation

Propriétés :

Soit $u_n = u_0 \times q^n$ avec $q \neq 0$ (donc $(u_n)$ est une suite géométrique).

IV. Somme des premiers termes

$S = \text{1er terme} \times \dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$

En particulier :

• Si $S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n$, il y a $(n + 1)$ termes, et alors :
  $S_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$

• Si $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$, il y a $n$ termes, et alors :
  $S_n = u_1 \times \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$

Conseil : apprendre à compter les termes de la suite

Exemple :
Pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $q \neq 1$, on a : $1 + q + q^2 + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$

Démonstration :

Soit un entier naturel $n$ non nul et un réel $q \neq 1$, considérons la somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique :

$S = 1 + q + q^2 + q^3 + \dots + q^n$

Multipliant cette égalité par $q$ :

$qS = q + q^2 + q^3 + \dots + q^{n+1}$

En soustrayant ces deux expressions :

$\scriptsize S - qS = (1 + q + q^2 + \dots + q^n) - (q + q^2 + q^3 + \dots + q^{n+1})$

On observe que tous les termes sauf le premier et le dernier se simplifient, ce qui donne :

$S(1 - q) = 1 - q^{n+1}$

D'où : pour $q\neq 1$, $S = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$

V. Comportement à l'infini de la suite de terme $u_n=q^n$

Propriétés :

$\circ\quad$ Si $q \leq -1$, alors la suite $(q^n)$ n’a pas de limite quand $n$ tend vers $+\infty$.

$\circ\quad$ Si $-1 < q < 1$ : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$

$\circ\quad$ Si $q > 1$ : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$