Moyenne géométrique et expression générale d'une suite géométrique

I. Moyenne géométrique de deux nombres positifs

La moyenne géométrique de deux réels strictement positifs $a$ et $b$ est définie par :

$\text{moyenne géométrique} = \sqrt{ab}$

Exemple 1

$a = 4$ et $b = 25$

$\sqrt{4 \times 25} = \sqrt{100} = 10$

La moyenne géométrique de 4 et 25 est 10.

II. Définition d'une suite géométrique à termes positifs

Une suite $(u_n)$ est géométrique si on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre positif, appelé raison $q$ :

$u_{n+1} = u_n \times q$

III. Terme général d'une suite géométrique

Si on connaît le premier terme $u_0$ et la raison $q$, alors :

$u_n = u_0 \times q^n$

Si la suite commence à $u_1$ :

$u_n = u_1 \times q^{n - 1}$

Exemple 2

$u_0 = 3$, $q = 2$

$u_n = 3 \times 2^n$

$u_4 = 3 \times 2^4 = 3 \times 16 = 48$

Exemple 3

$u_1 = 5$, $q = 3$

$u_n = 5 \times 3^{n - 1}$

$u_3 = 5 \times 3^2 = 5 \times 9 = 45$

IV. Somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique

Soit une suite $(u_n)$ géométrique avec $u_0$ et $q \neq 1$. La somme des $n$ premiers termes est :

$S_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$

Si $q \lt 1$, on peut écrire :

$S_n = u_0 \times \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$

Exemple 4

$u_0 = 2$, $q = 3$, on cherche $S_4$

$S_4 = 2 \times \dfrac{1 - 3^4}{1 - 3} = 2 \times \dfrac{1 - 81}{-2} = 2 \times \dfrac{-80}{-2} = 80$

Exemple 5

$u_0 = 100$, $q = 0{,}5$, on cherche $S_3$

$S_3 = 100 \times \dfrac{1 - 0{,}5^3}{1 - 0{,}5} = 100 \times \dfrac{1 - 0{,}125}{0{,}5} = 100 \times \dfrac{0{,}875}{0{,}5} = 100 \times 1{,}75 = 175$

V. Utilisation de la notation $\Sigma$

La somme des $n$ premiers termes d’une suite géométrique s’écrit aussi :

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} u_k = S_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$