Suites numériques : généralités

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Il ne faut surtout pas craindre cette expression de « suite numérique ». Numérique a pour racine le mot « nombre » tout simplement. Une suite numérique signifie tout simplement que l'on a des nombres qui se suivent. 

Exemple : 3 ; +4 ; 3 ; 15 ; 12,3 ;-3~;~+4~;~-\sqrt 3~;~15~;~12,3~; \dots est une suite numérique.

Dans cet exemple, on dit qu'il y a 55 termes. Le premier terme est 3-3, le second +4+4 etc.

Si nous comptons les termes, c'est que nous faisons une correspondance entre le fait de compter 11, 22, 33, 44, etc...et les nombres écrits ci-dessus soit 3 ; +4 ; 3 ; 15 ; 12,3 ;-3~;~+4~;~-\sqrt 3~;~15~;~12,3~; \dots.

En 3e et seconde, il a été vu qu'une telle correspondance s'appelle une fonction, et dans le cas présent, celle-ci a pour ensemble de départ les entiers naturels N (00 exclu éventuellement) et pour ensemble d'arrivée R.

On pourrait appeler ff cette fonction, il est de coutume d'utiliser les lettres u , v , ou wu~,~v~, \text{ ou } w et on peut donc écrire : 

u : NRu~:~\textbf{N} \to \textbf R

u : nu(n){\phantom{u~:~}n\mapsto u(n)}

Dire que le premier terme est 3-3 va alors s'écrire u(1)=3u(1)=-3, le deuxième vaut +4+4 s'écrira u(2)=+4u(2)=+4 etc.

On dit aussi que le terme de rang 1 vaut 3-3, que le terme de rang 2 vaut +4+4, etc. Et pour simplifier l'écriture, on va enlever les parenthèses autour du rang et écrire le rang en indice, et cela donne :

u1=3u_1=-3 ; u2=+4u_2=+4 ; u3=3u_3=-\sqrt 3 ...

Ce vocabulaire et ces notations doivent être compris et connus. 

Conventions d'écriture : 

On écrit la suite (u)(u) ou la suite (un)nN(u_n)_{n\in \textbf N*} en mettant des parenthèses.

On écrit le terme unu_n sans mettre de parenthèses.

Sauf que personne en lisant la succession de nombres proposés ne peut deviner quel serait le nombre suivant. Cette suite est donc assez inintéressante, car totalement imprévisible. 

Certaines suites sont beaucoup plus intéressantes à étudier, parmi elles, sont les suites arithmétiques ou les suites géométriques qui feront l'objet de deux autres leçons.

I. Représentation graphique d'une suite numérique

On a vu qu'une suite n'est rien d'autre qu'une fonction. Celle-ci peut donc être représentée dans un repère du plan. 

picture-in-text

Sur cette représentation, 11 a pour image 3-3, 22 a pour image 44, 33 a pour image 3-\sqrt 3, 44 a pour image 1515 et 55 a pour image 12,312,3. Ceci est la représentation graphique de la suite numérique proposée dans le préambule.

Bien remarquer que la représentation graphique d'une suite numérique dans un repère est une succession de points.

II. Définir une suite numérique

L'ensemble de départ est toujours N\textbf N ou une partie de N\textbf N.

1) Définir une suite par une formule explicite

Exemple : 

Soit la suite (u)(u) définie sur N par un=3+5nu_n=3+5n.

Cette définition permet de calculer n'importe quel terme de la suite.

u0=3+5×0=3u_0=3+5\times 0=3, u1=3+5×1=8u_1=3+5\times 1=8, u2=3+5×2=13u_2=3+5\times 2=13 etc.

puisqu'il suffit de remplacer la lettre nn par sa valeur. On peut trouver directement u99u_{99} qui vaut 3+5×99=4983+5\times 99=498, qui est le 100e terme de la suite puisqu'on a commencé la suite au rang 00 et non au rang 11.

Définition : 

Une suite est définie demanière explicite lorsque unu_n est une fonction de nn.

2) Définir une suite par une formule de récurrence

Si je considère une suite (v)(v) définie sur N\textbf N^*, les termes se rangent ainsi : 

v1 , v2 , v3 ,, vn2 , vn1 , vn , vn+1 , vn+2 , v_1~,~v_2~,~v_3~,\dots,~v_{n-2}~,~v_{n-1}~,~\underline{v_n~,~v_{n+1}}~,~v_{n+2}~,~\dots

On dit que vn+1v_{n+1} est le suivant de vnv_n, et que vnv_n est le précédent de vn+1v_{n+1}.

Exemple : Soit la suite définie par 

nN , vn+1=2vn+3  et v1=2n\in \textbf N^*~,~v_{n+1}=2\,v_n+3~\text{ et } v_1=2

Si on remplace la lettre nn par 11, on obtient :

v1+1=2v1+3v_{1+1}=2\,v_1+3 soit v2=2×2+3=7v_2=2\times 2+3=7

Commaissant v1v_1, on a pu calculer v2v_2.

De même, si je remplace maintenant nn par 22, j'obtiens : 

v2+1=2v2+3v_{2+1}=2\,v_2+3 soit v3=2×7+3=17v_3=2\times 7+3=17. Connaissant v2v_2, on a pu calculer v3v_3. Ceci peut être reproduit indéfiniment. On peut calculer un terme à condition de connaître le précédent. On dit qu'on a défini la suite par récurrence. 

Définition

Une suite (u)(u) est dite récurrente lorsque un+1u_{n+1} est fonction de unu_n.

3) Définir une suite par un algorithme

On a regardé le nombre de personnes intéressées par une page mise en ligne sur internet. La première semaine 150 personnes ont été intéressées, et on a remarqué une augmentation régulière de 8%8\% les semaines suivantes. Le script Python suivant peut être complété afin de générer la suite constituée par le nombre de personnes intéressées.

picture-in-text

Une augmentation de 8%8\% correspond à un coefficient multiplicateur de 1+8100=1+0,08=1,081+\dfrac{8}{100}=1+0,08=1,08. Le premier terme est 150, et les termes suivants sont obtenus en multipliant chaque terme par le coefficient 1,081,08.

L'algorithme va retourner les valeurs 1,08×1501,08\times 150 soit 162162 puis 162×1,08162\times 1,08 soit 174,96174,96 ; 174,96×1,08174,96\times 1,08 soit 188,96188,96 etc. On a généré la suite grâce à un algorithme.

4) Variations d'une suite numérique 

En reprenant cette représentation pour une suite (u)(u)

u1 , u2 , u3 ,, un2 , un1 , un , un+1 , un+2 , u_1~,~u_2~,~u_3~,\dots,~u_{n-2}~,~u_{n-1}~,~\underline{u_n~,~u_{n+1}}~,~u_{n+2}~,~\dots

Définitions : Etudier les variations, c'est dire si la suite est croissante ou décroissante.

On dit que (u)(u) est croissante si pour tout nn, unun+1u_n\le u_{n+1}.

On dit que (u)(u) est décroissante si pour tout nn, unun+1u_n\ge u_{n+1}.

Si on remplace les inégalités larges par des inégalités strictes, la suite sera strictement croissante (respectivement strictement décroissante).

Méthode : on peut calculer un+1unu_{n+1}-u_n et en étudier le signe.

Point important : Savoir calculer un+1u_{n+1} si on donne unu_n dans l'énoncé.

Soit la suite (u)(u) définie sur N par un=3+4nu_n=3+4n. Que vaut un+1u_{n+1}

un+1u_{n+1} va s'obtenir en remplaçant la lettre nn par le « bloc » n+1n+1 ou mieux (n+1)(n+1) pour éviter les erreurs.

Alors : un+1=3+4(n+1)=3+4n+4=7+4nu_{n+1}=3+4(n+1)=3+4n+4=7+4n

Exemple 1 : Soit la suite (v) définie sur N par vn=52nv_n=5-2n. Etudier les variations de cette suite. 

On calcule vn+1v_{n+1}. vn+1=52(n+1)=52n2=32nv_{n+1}=5-2(n+1)=5-2n-2=3-2n

Pour tout nn, vn+1vn=32n(52n)v_{n+1}-v_n=3-2n-(5-2n)

Pourtoutn,vn+1vn=32n5+2n=8{\phantom{Pour tout n, v_{n+1}-v_n}=3-2n-5+2n=8}

Cette différence est strictement positive. On obtient :

Pour tout nn de N, vn+1vnv_{n+1}-v_n > 00 soit vn+1v_{n+1} > vnv_n et la suite (v)(v) est strictement croissante. 

Exemple 2 : Soit la suite (w) définie sur N par wn+1=wn2w_{n+1}=w_n-2. Etudier les variations de cette suite. 

Pour tout nn de N, wn+1wn=(wn2)wn=2w_{n+1}-w_n=(w_n-2)-w_n=-2, quantité strictement négative. La suite (w)(w) est strictement décroissante.