Prouver qu'une suite est géométrique et en déterminer la raison

I. Comment prouver que trois nombres sont consécutifs dans une suite géométrique

Trois nombres positifs $a$, $b$, $c$ sont consécutifs dans une suite géométrique si :

$b^2 = a \times c$

On dit que $b$ est la moyenne géométrique de $a$ et $c$.

Exemple 1

Les nombres $3$, $6$, $12$ sont-ils les termes consécutifs d’une suite géométrique ?

On vérifie : $6^2 = 36$ et $3 \times 12 = 36$ → ✅ Oui

Exemple 2

Les nombres $2$, $5$, $13$ sont-ils dans une suite géométrique ?

$5^2 = 25$ et $2 \times 13 = 26$ → ❌ Non, car $25 \neq 26$

II. Déterminer la raison d’une suite géométrique

Si on connaît deux termes consécutifs $u_n$ et $u_{n+1}$ (non nuls), on déduit la raison :

$q = \dfrac{u_{n+1}}{u_n}$

Exemple 3

Suite : $u_0 = 5$, $u_1 = 10$

$q = 10 / 5 = 2$

La raison est $2$, donc la suite est : $5$, $10$, $20$, $40$, ...

Exemple 4 – Trouver $q$ à partir de deux termes non consécutifs

Si $u_0 = 2$ et $u_3 = 16$, on cherche $q$.

On sait que : $u_3 = u_0 \times q^3$

Donc : $16 = 2 \times q^3$

$q^3 = 8$ → $q = 2$

III. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$

Si on connaît un terme $u_k$ et la raison $q$, alors :

$u_n = u_k \times q^{n - k}$

Exemple 5

$u_3 = 81$, $q = 3$. On cherche $u_n$ :

$u_n = 81 \times 3^{n - 3}$

Par exemple, $u_5 = 81 \times 3^{5 - 3} = 81 \times 9 = 729$

IV. Exemples d’évolutions modélisables

• Un capital double tous les ans → $q = 2$

• Une substance radioactive diminue de moitié chaque heure → $q = 0{,}5$

• Une bactérie triple toutes les 10 minutes → $q = 3$