Section de solides

Exercice 1

Exercice 2

1. Les point M et R étant respectivement les milieux de $[BB']$ et $[AB]$, où $BB'=AB$ (car $AA'B'B$ est un cube).
   Autrement dit, le triangle $BRM$ est isocèle.
   Il est de plus rectangle, l'angle $\widehat{ABB'}$ étant un angle droit (par propriétés du cube).
   Le triangle $BRM$ est donc rectangle isocèle en $B$.

Remarque : Le fait que le triangle soit rectangle assure par ailleurs que le triangle ne peut pas être « plus » qu'isocèle (notamment équilatéral), en effet, dans un triangle équilatéral, tous les angles du triangle sont égaux à $60^\circ$.

D'après le théorème de Pythagore dans ce triangle rectangle :
$RM^2=BR^2+BM^2$
$RM^2=2\times\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2$
$RM^2=2\times3^2$
$RM^2=18$
$RM=\sqrt{18}\quad{\rm car}\,RM\,{\rm positif}$
$\boxed{ RM=3\sqrt{2}\,\text{ cm}}$.
👉 Pense à repérer d’abord les milieux et les angles droits dans le cube : cela guide la nature du triangle et les calculs.

2. La section d'un cube par un plan parallèle à une de ses arêtes est un rectangle, d'où $RMNP$ est un rectangle.
   Sa longueur est la hauteur du cube, soit $6\ \text{cm}$, et sa largeur la longueur $RM=3\sqrt{2}\simeq4,24\,{\rm cm}$.
   👉 Visualise le plan parallèle à l’arête demandée : il “découpe” un rectangle dont une dimension est l’arête du cube. Il suffit donc de construire un simple rectangle de dimensions $6$ et $4,2$ cm.

3. L'aire du triangle $RBM$ est : $\mathcal{A}_1=\dfrac{BR\times BM}{2}=\dfrac{9}{2}=4,5$ soit $4,5\ \text{cm}^2$.
   Le volume du prisme droit de base le triangle $RBM$ et de hauteur $[BC]$ est alors : $\mathcal{V}=\mathcal{A}_1\times BC=\dfrac{9}{2}\times6=27$ soit $27\ \text{cm}^3$.
   👉 Utilise la formule de l’aire d’un triangle rectangle (produit des deux côtés perpendiculaires divisé par 2), puis multiplie par la hauteur du prisme.