Trigonométrie : un lapin traverse devant un camion

1. Calcul de la longueur $AD$ :
   Le triangle $ABD$ est rectangle en $B$, donc

$AD = \dfrac{4}{\cos \theta}$

Calcul de la longueur $CD$ :

$CD = CB + BD = 7 + 4 \tan \theta$

Calcul du temps $t_1$

On sait que le temps (en heures) est égal au rapport de la distance sur la vitesse, donc :

$t_1 = \dfrac{AD}{30} = \dfrac{4 \cdot 10^{-3}}{30 \cos \theta}$

Calcul du temps $t_2$

De même :

$t_2 = \dfrac{CD}{60} = \dfrac{(7 + 4 \tan \theta)\cdot 10^{-3}}{60}$

2. Le lapin parvient à traverser si $t_1 < t_2$

$t_1 < t_2$

$\Longleftrightarrow \dfrac{4 \cdot 10^{-3}}{30 \cos \theta} < \dfrac{(7 + 4 \tan \theta)\cdot 10^{-3}}{60}$

$\Longleftrightarrow \dfrac{4}{\cos \theta} < \dfrac{7 + 4 \tan \theta}{2}$

$\Longleftrightarrow \dfrac{7 + 4 \tan \theta}{2} - \dfrac{4}{\cos \theta} > 0$

$\Longleftrightarrow \dfrac{7}{2} + 2 \tan \theta - \dfrac{4}{\cos \theta} > 0$

$\Longleftrightarrow f(\theta) > 0$

3. La dérivée de $f(\theta)$ est égale à :

$f'(\theta) = \dfrac{2}{\cos^2 \theta} - \dfrac{4 \sin \theta}{\cos^2 \theta} = \dfrac{2(1 - 2 \sin \theta)}{\cos^2 \theta}$

L'étude du signe de la dérivée montre que la fonction est croissante sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{6}\right]$ et décroissante sur $\left[\dfrac{\pi}{6}~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.

On peut aussi démontrer que l'équation $f(\theta) = 0$ possède une solution sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{6}\right]$ et une sur $\left[\dfrac{\pi}{6}~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ (voir représentation graphique ci-dessous).

La recherche des solutions approchées de l'équation $f(\theta) = 0$ montre que le lapin doit prendre un angle compris entre $23^\circ$ et $37^\circ$ environ pour parvenir à traverser.