Exemples de résolution d'équations trigonométriques

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Remarque importante : pour ce type d'équations, il ne faut pas oublier l'ensemble dans lequel les solutions sont demandées.

Équation cosinus dans $\mathbb{R}$

$\cos U = \cos V$ équivaut à dire $U=V+k2\pi$ ou $U=-V+k'2\pi$ avec $k$ et $k'$ dans $\mathbb{Z}$.
Afin de mémoriser ce résultat, il est judicieux de comprendre et de visualiser sur la figure ce que signifie cette égalité de cosinus.

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation d'inconnue $x,\quad \cos(2x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Étape 1 : Utiliser le cercle trigonométrique et/ou le tableau de valeurs remarquables afin de retrouver une valeur dont le cosinus vaut $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Le cosinus se lit sur l'axe des abscisses, on peut dire que $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ est le cosinus de $\dfrac{\pi}{6}$ par exemple.

Étape 2 : Utiliser ce résultat pour écrire l'équation proposée sous la forme "$\cos U=\cos V$". L'équation proposée revient donc à écrire : $x\in \mathbb{R},; \cos(2x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$.

On applique alors la propriété rappelée ci-dessus : $\cos(2x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\iff 2x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ ou $2x = -\dfrac{\pi}{6}+k'2\pi$ avec $k$ et $k'$ dans $\mathbb{Z}$.

Étape 3 : Terminer les calculs si besoin. Je divise par 2 chaque membre de chaque égalité : $x=\dfrac{\pi}{12}+k\pi$ ou $x = -\dfrac{\pi}{12}+k'\pi$ avec $k$ et $k'$ dans $\mathbb{Z}$.

Étape 4 : Conclure. L'énoncé demandait les solutions dans $\mathbb{R}$. On obtient pour ensemble solution : $S=\left\lbrace \dfrac{\pi}{12}+k\pi, -\dfrac{\pi}{12}+k'\pi, (k, k')\in \mathbb{Z}^2\right\rbrace$.

Exercice 2

Résoudre dans $]-\pi;;\pi]$ l'équation d'inconnue $x,\quad \cos(2x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Toute la démarche est la même, seul l'ensemble solution va être modifié.

Étapes 1-2-3 réunies : $x=\dfrac{\pi}{12}+k\pi$ ou $x = -\dfrac{\pi}{12}+k'\pi$ avec $k$ et $k'$ dans $\mathbb{Z}$.

Étape 4 : Garder uniquement les valeurs de $x$ dans l'intervalle $]-\pi\;;\pi]$.

Pour la première série de valeurs :

Pour $k=-1$, $\dfrac{\pi}{12}-\pi=\dfrac{-11\pi}{12}$, convient $\checkmark$.

Pour $k=0$, $\dfrac{\pi}{12}$, convient $\checkmark$.

Pour $k=1$, $\dfrac{\pi}{12}+\pi=\dfrac{13\pi}{12}$, ne convient pas.

Pour la deuxième série de valeurs :

Pour $k'=0$, $-\dfrac{\pi}{12}$, convient $\checkmark$.

Pour $k'=1$, $-\dfrac{\pi}{12}+\pi=\dfrac{11\pi}{12}$, convient $\checkmark$.

L'ensemble solution est donc : $S=\left\lbrace -\dfrac{11\pi}{12}, -\dfrac{\pi}{12}, \dfrac{\pi}{12}, \dfrac{11\pi}{12}\right\rbrace$.

Équation sinus dans $\mathbb{R}$

$\sin U = \sin V$ équivaut à dire $U=V+k2\pi$ ou $U=\pi -V+k'2\pi$ avec $k$ et $k'$ dans $\mathbb{Z}$.
Afin de mémoriser ce résultat, il est judicieux de comprendre et de visualiser sur la figure ce que signifie cette égalité de sinus.

Exercice 3

Résoudre dans $[0,;\pi[$ l'équation d'inconnue $x$ telle que $\sin(5x)=\cos(x)$.

Étape 1 : Transformer l'équation.
Sur le cercle trigonométrique, on retrouve que $\cos(x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)$. L'équation devient $\sin(5x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)$.

Étape 2 : Résoudre dans $\mathbb{R}$.
$\sin(5x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\iff 5x=\frac{\pi}{2}+x+k2\pi$ ou $5x=\pi-\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+k'2\pi$.
En simplifiant : $4x=\frac{\pi}{2}+k2\pi$ ou $6x=\frac{\pi}{2}+k'2\pi$.
$x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}$ ou $x=\frac{\pi}{12}+k'\frac{\pi}{3}$.

Étape 3 : Garder uniquement les solutions dans $[0,;\pi[$.
Pour la première série de valeurs :

$k=0$, $\dfrac{\pi}{8}$, convient $\checkmark$.
$k=1$, $\dfrac{5\pi}{8}$, convient $\checkmark$.

Pour la deuxième série de valeurs :

$k'=0$, $\dfrac{\pi}{12}$, convient $\checkmark$.
$k'=1$, $\dfrac{5\pi}{12}$, convient $\checkmark$.
$k'=2$, $\dfrac{3\pi}{4}$, convient $\checkmark$.

L'ensemble solution est donc :
$S=\left\lbrace \dfrac{\pi}{12}, \dfrac{\pi}{8}, \dfrac{5\pi}{12}, \dfrac{5\pi}{8}, \dfrac{3\pi}{4}\right\rbrace$.

Équation tangente dans $\mathbb{R}$

$\tan U = \tan V$ équivaut à dire $U=V+k\pi$ avec $k$ dans $\mathbb{Z}$.
Ce type d'équation se traite de la même manière que les précédentes, une fois le principe compris, et ne pose aucun problème particulier.

_{Merci à Malou pour avoir participé à l'élaboration de cette fiche.}