Ce fichier peut être une ressource intéressante pour les classes ultérieures en fonction des nouvelles notions abordées.
Toutes les formules concernant la tangente et la cotangente sous-entendent que celles-ci sont définies.
Il est intéressant de savoir retrouver certains résultats sur le cercle trigonométrique. Un exemple en est donné ci-après pour la formule :
cos(2π+x)=−sinx

Le cosinus de x est représenté en rouge sur l'axe des abscisses.
Le sinus de x est représenté en bleu (axe des ordonnées, valeur positive ici), le cosinus de 2π+x est représenté en pointillés bleus (axe des abscisses, valeur négative dans le cas de cet exemple).
Les valeurs remarquables
Elles sont à connaître sans hésitation et peuvent, avec l'habitude, être "lues" très vite sur le cercle trigonométrique.
Résultats à savoir retrouver sur le cercle trigonométrique :
Soit x un réel.
1. −1≤sinx≤1 et −1≤cosx≤1.
2. cos2x+sin2x=1.
3. cos(−x)=cosx et sin(−x)=−sinx.
4. cos(π−x)=−cosx et sin(π−x)=sinx.
5. cos(π+x)=−cosx et sin(π+x)=−sinx.
6. cos(2π+x)=−sinx et sin(2π+x)=cosx.
7. cos(2π−x)=sinx et sin(2π−x)=cosx.

La fonction tan est définie comme le quotient de la fonction sin par le fonction cos.
On peut également, sur un cercle trigonométrique, faire apparaître les valeurs de tanx et de cotan x=tanx1, et ainsi retrouver certaines formules.

Résultats qu'il est possible de retrouver sur le cercle trigonométrique :
1. tan(x+2π)=tanx.
2. tan(x+π)=tanx.
3. tan(−x)=−tanx.
4. tan(π−x)=−tanx.
1. tan(2π−x)=cotan x.
2. tan(2π+x)=−cotan x.
3. cotan (2π−x)=tanx.
4. cotan (2π+x)=−tanx.
Remarque :
1. 1+tan2a=cos2a1.
2. 1+cotan 2a=sin2a1.
Les formules d'addition
Soient a et b deux réels.
1. cos(a+b)=cosacosb−sinasinb.
2. sin(a+b)=sinacosb+cosasinb.
3. cos(a−b)=cosacosb+sinasinb.
4. sin(a−b)=sinacosb−cosasinb.
5. tan(a+b)=1−tanatanbtana+tanb.
6. tan(a−b)=1+tanatanbtana−tanb.
Les formules de duplication
1. sin(2a)=2cosasina.
2. cos(2a)=cos2a−sin2a=2cos2a−1=1−2sin2a
3. tan(2a)=1−tan2a2tana.
Extensions
1. cos(3a)=4cos3a−3cosa.
2. sin(3a)=3sina−4sin3a.
3. tan(3a)=1−3tan2a3tana−tan3a.
Au delà on utilise la formule de Moivre.
Les formules de linéarisation
1. cos2a=21+cos(2a).
2. sin2a=21−cos(2a).
3. tan2a=1+cos(2a)1−cos(2a).
4. cosacosb=21[cos(a−b)+cos(a+b)].
5. cosasinb=21[sin(a+b)−sin(a−b)].
6. sinasinb=21[cos(a−b)−cos(a+b)].
Formules déduites
1. cosp+cosq=2cos(2p+q)cos(2p−q)
2. cosp−cosq=−2sin(2p+q)sin(2p−q)
3. sinp+sinq=2sin(2p+q)cos(2p−q)
4. sinp−sinq=2cos(2p+q)sin(2p−q)
Les formules en fonction de t=tan(2a)
1. cosa=1+t21−t2.
2. sina=1+t22t.
3. tana=1−t22t.
II. Le cercle trigonométrique et la résolution d'équations
1. Équation cosinus dans R

cosU=cosV équivaut à dire U=V+k⋅2π ou U=−V+k′⋅2π, avec k et k′ dans Z.
Remarque importante :
Pour ce type d’équations, comme pour les suivantes, il ne faut pas oublier l’ensemble dans lequel les solutions sont demandées. Il convient de ne choisir que les valeurs de k et k′ permettant aux solutions d’appartenir à l’ensemble imposé par l’énoncé.
2. Équation sinus dans R

sinU=sinV équivaut à dire U=V+k⋅2π ou U=π−V+k′⋅2π, avec k et k′ dans Z.
3. Équation tangente dans R

tanU=tanV équivaut à dire U=V+k⋅π, avec k dans Z.
Merci à Malou pour l'élaboration de cette fiche