Formules de trigonométrie (pour aller plus loin)

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Ce fichier peut être une ressource intéressante pour les classes ultérieures en fonction des nouvelles notions abordées.

Toutes les formules concernant la tangente et la cotangente sous-entendent que celles-ci sont définies.

Il est intéressant de savoir retrouver certains résultats sur le cercle trigonométrique. Un exemple en est donné ci-après pour la formule :
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x$

Le cosinus de $x$ est représenté en rouge sur l'axe des abscisses.
Le sinus de $x$ est représenté en bleu (axe des ordonnées, valeur positive ici), le cosinus de $\dfrac{\pi}{2}+x$ est représenté en pointillés bleus (axe des abscisses, valeur négative dans le cas de cet exemple).

Les valeurs remarquables
Elles sont à connaître sans hésitation et peuvent, avec l'habitude, être "lues" très vite sur le cercle trigonométrique.

Résultats à savoir retrouver sur le cercle trigonométrique :

Soit $x$ un réel.

$1.$ $-1 \leq \sin x \leq 1$ et $-1 \leq \cos x \leq 1$.
$2.$ $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.
$3.$ $\cos(-x) = \cos x$ et $\sin(-x) = -\sin x$.
$4.$ $\cos(\pi - x) = -\cos x$ et $\sin(\pi - x) = \sin x$.
$5.$ $\cos(\pi + x) = -\cos x$ et $\sin(\pi + x) = -\sin x$.
$6.$ $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$.
$7.$ $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$.

La fonction $\tan$ est définie comme le quotient de la fonction $\sin$ par le fonction $\cos$.

On peut également, sur un cercle trigonométrique, faire apparaître les valeurs de $\tan x$ et de $\text{cotan }x = \dfrac{1}{\tan x}$, et ainsi retrouver certaines formules.

Résultats qu'il est possible de retrouver sur le cercle trigonométrique :

$1.$ $\tan(x + 2\pi) = \tan x$.
$2.$ $\tan(x + \pi) = \tan x$.
$3.$ $\tan(-x) = -\tan x$.
$4.$ $\tan(\pi - x) = -\tan x$.

$1.$ $\tan\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \text{cotan }x$.
$2.$ $\tan\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = -\text{cotan } x$.
$3.$ $\text{cotan }\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \tan x$.
$4.$ $\text{cotan }\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = -\tan x$.

Remarque :

$1.$ $1 + \tan^2 a = \dfrac{1}{\cos^2 a}$.

$2.$ $1 + \text{cotan }^2 a = \dfrac{1}{\sin^2 a}$.

Les formules d'addition

Soient $a$ et $b$ deux réels.

$1.$ $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$.
$2.$ $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$.
$3.$ $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$.
$4.$ $\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$.
$5.$ $\tan(a + b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$.
$6.$ $\tan(a - b) = \dfrac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}$.

Les formules de duplication

$1.$ $\sin(2a) = 2 \cos a \sin a$.
$2.$ $\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a$

$\phantom{2.~~ \cos(2a)}= 2\cos^2 a - 1$

$\phantom{2.~~ \cos(2a)}= 1 - 2\sin^2 a$
$3.$ $\tan(2a) = \dfrac{2 \tan a}{1 - \tan^2 a}$.

Extensions

$1.$ $\cos(3a) = 4\cos^3 a - 3\cos a$.
$2.$ $\sin(3a) = 3\sin a - 4\sin^3 a$.
$3.$ $\tan(3a) = \dfrac{3 \tan a - \tan^3 a}{1 - 3\tan^2 a}$.

Au delà on utilise la formule de Moivre.

Les formules de linéarisation

$1.$ $\cos^2 a = \dfrac{1 + \cos(2a)}{2}$.
$2.$ $\sin^2 a = \dfrac{1 - \cos(2a)}{2}$.
$3.$ $\tan^2 a = \dfrac{1 - \cos(2a)}{1 + \cos(2a)}$.
$4.$ $\cos a \cos b = \dfrac{1}{2} \left[\cos(a - b) + \cos(a + b)\right]$.
$5.$ $\cos a \sin b = \dfrac{1}{2} \left[\sin(a + b) - \sin(a - b)\right]$.
$6.$ $\sin a \sin b = \dfrac{1}{2} \left[\cos(a - b) - \cos(a + b)\right]$.

Formules déduites

$1.$ $\cos p + \cos q = 2 \cos\left(\dfrac{p + q}{2}\right)\cos\left(\dfrac{p - q}{2}\right)$
$2.$ $\cos p - \cos q = -2 \sin\left(\dfrac{p + q}{2}\right)\sin\left(\dfrac{p - q}{2}\right)$
$3.$ $\sin p + \sin q = 2 \sin\left(\dfrac{p + q}{2}\right)\cos\left(\dfrac{p - q}{2}\right)$
$4.$ $\sin p - \sin q = 2 \cos\left(\dfrac{p + q}{2}\right)\sin\left(\dfrac{p - q}{2}\right)$

Les formules en fonction de $t = \tan\left(\dfrac{a}{2}\right)$

$1.$ $\cos a = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}$.
$2.$ $\sin a = \dfrac{2t}{1 + t^2}$.
$3.$ $\tan a = \dfrac{2t}{1 - t^2}$.

II. Le cercle trigonométrique et la résolution d'équations

$1.$ Équation cosinus dans $\mathbb{R}$

$\cos U = \cos V$ équivaut à dire $U = V + k \cdot 2\pi$ ou $U = -V + k' \cdot 2\pi$, avec $k$ et $k'$ dans $\mathbb{Z}$.

Remarque importante :
Pour ce type d’équations, comme pour les suivantes, il ne faut pas oublier l’ensemble dans lequel les solutions sont demandées. Il convient de ne choisir que les valeurs de $k$ et $k'$ permettant aux solutions d’appartenir à l’ensemble imposé par l’énoncé.

$2.$ Équation sinus dans $\mathbb{R}$

$\sin U = \sin V$ équivaut à dire $U = V + k \cdot 2\pi$ ou $U = \pi - V + k' \cdot 2\pi$, avec $k$ et $k'$ dans $\mathbb{Z}$.

$3.$ Équation tangente dans $\mathbb{R}$

$\tan U = \tan V$ équivaut à dire $U = V + k \cdot \pi$, avec $k$ dans $\mathbb{Z}$.

_{Merci à Malou pour l'élaboration de cette fiche}