Formules de trigonométrie (pour aller plus loin)

Signaler

Ce fichier peut être une ressource intéressante pour les classes ultérieures en fonction des nouvelles notions abordées.

Toutes les formules concernant la tangente et la cotangente sous-entendent que celles-ci sont définies.

Il est intéressant de savoir retrouver certains résultats sur le cercle trigonométrique. Un exemple en est donné ci-après pour la formule :
cos(π2+x)=sinx\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x

picture-in-text

Le cosinus de xx est représenté en rouge sur l'axe des abscisses.
Le sinus de xx est représenté en bleu (axe des ordonnées, valeur positive ici), le cosinus de π2+x\dfrac{\pi}{2}+x est représenté en pointillés bleus (axe des abscisses, valeur négative dans le cas de cet exemple).

Les valeurs remarquables
Elles sont à connaître sans hésitation et peuvent, avec l'habitude, être "lues" très vite sur le cercle trigonométrique.

Résultats à savoir retrouver sur le cercle trigonométrique :

Soit xx un réel.

1.1. 1sinx1-1 \leq \sin x \leq 1 et 1cosx1-1 \leq \cos x \leq 1.
2.2. cos2x+sin2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1.
3.3. cos(x)=cosx\cos(-x) = \cos x et sin(x)=sinx\sin(-x) = -\sin x.
4.4. cos(πx)=cosx\cos(\pi - x) = -\cos x et sin(πx)=sinx\sin(\pi - x) = \sin x.
5.5. cos(π+x)=cosx\cos(\pi + x) = -\cos x et sin(π+x)=sinx\sin(\pi + x) = -\sin x.
6.6. cos(π2+x)=sinx\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x et sin(π2+x)=cosx\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = \cos x.
7.7. cos(π2x)=sinx\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x et sin(π2x)=cosx\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x.

picture-in-text

La fonction tan\tan est définie comme le quotient de la fonction sin\sin par le fonction cos\cos.

On peut également, sur un cercle trigonométrique, faire apparaître les valeurs de tanx\tan x et de cotan x=1tanx\text{cotan }x = \dfrac{1}{\tan x}, et ainsi retrouver certaines formules.

picture-in-text

Résultats qu'il est possible de retrouver sur le cercle trigonométrique :

1.1. tan(x+2π)=tanx\tan(x + 2\pi) = \tan x.
2.2. tan(x+π)=tanx\tan(x + \pi) = \tan x.
3.3. tan(x)=tanx\tan(-x) = -\tan x.
4.4. tan(πx)=tanx\tan(\pi - x) = -\tan x.

1.1. tan(π2x)=cotan x\tan\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \text{cotan }x.
2.2. tan(π2+x)=cotan x\tan\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = -\text{cotan } x.
3.3. cotan (π2x)=tanx\text{cotan }\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \tan x.
4.4. cotan (π2+x)=tanx\text{cotan }\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = -\tan x.

Remarque :

1.1. 1+tan2a=1cos2a1 + \tan^2 a = \dfrac{1}{\cos^2 a}.
2.2. 1+cotan 2a=1sin2a1 + \text{cotan }^2 a = \dfrac{1}{\sin^2 a}.

Les formules d'addition

Soient aa et bb deux réels.

1.1. cos(a+b)=cosacosbsinasinb\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b.
2.2. sin(a+b)=sinacosb+cosasinb\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b.
3.3. cos(ab)=cosacosb+sinasinb\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b.
4.4. sin(ab)=sinacosbcosasinb\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b.
5.5. tan(a+b)=tana+tanb1tanatanb\tan(a + b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}.
6.6. tan(ab)=tanatanb1+tanatanb\tan(a - b) = \dfrac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}.

Les formules de duplication

1.1. sin(2a)=2cosasina\sin(2a) = 2 \cos a \sin a.
2.2. cos(2a)=cos2asin2a=2cos2a1=12sin2a\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a
3.3. tan(2a)=2tana1tan2a\tan(2a) = \dfrac{2 \tan a}{1 - \tan^2 a}.

Extensions

1.1. cos(3a)=4cos3a3cosa\cos(3a) = 4\cos^3 a - 3\cos a.
2.2. sin(3a)=3sina4sin3a\sin(3a) = 3\sin a - 4\sin^3 a.
3.3. tan(3a)=3tanatan3a13tan2a\tan(3a) = \dfrac{3 \tan a - \tan^3 a}{1 - 3\tan^2 a}.

Au delà on utilise la formule de Moivre.

Les formules de linéarisation

1.1. cos2a=1+cos(2a)2\cos^2 a = \dfrac{1 + \cos(2a)}{2}.
2.2. sin2a=1cos(2a)2\sin^2 a = \dfrac{1 - \cos(2a)}{2}.
3.3. tan2a=1cos(2a)1+cos(2a)\tan^2 a = \dfrac{1 - \cos(2a)}{1 + \cos(2a)}.
4.4. cosacosb=12[cos(ab)+cos(a+b)]\cos a \cos b = \dfrac{1}{2} \left[\cos(a - b) + \cos(a + b)\right].
5.5. cosasinb=12[sin(a+b)sin(ab)]\cos a \sin b = \dfrac{1}{2} \left[\sin(a + b) - \sin(a - b)\right].
6.6. sinasinb=12[cos(ab)cos(a+b)]\sin a \sin b = \dfrac{1}{2} \left[\cos(a - b) - \cos(a + b)\right].

Formules déduites

1.1. cosp+cosq=2cos(p+q2)cos(pq2)\cos p + \cos q = 2 \cos\left(\dfrac{p + q}{2}\right)\cos\left(\dfrac{p - q}{2}\right)
2.2. cospcosq=2sin(p+q2)sin(pq2)\cos p - \cos q = -2 \sin\left(\dfrac{p + q}{2}\right)\sin\left(\dfrac{p - q}{2}\right)
3.3. sinp+sinq=2sin(p+q2)cos(pq2)\sin p + \sin q = 2 \sin\left(\dfrac{p + q}{2}\right)\cos\left(\dfrac{p - q}{2}\right)
4.4. sinpsinq=2cos(p+q2)sin(pq2)\sin p - \sin q = 2 \cos\left(\dfrac{p + q}{2}\right)\sin\left(\dfrac{p - q}{2}\right)

Les formules en fonction de t=tan(a2)t = \tan\left(\dfrac{a}{2}\right)

1.1. cosa=1t21+t2\cos a = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}.
2.2. sina=2t1+t2\sin a = \dfrac{2t}{1 + t^2}.
3.3. tana=2t1t2\tan a = \dfrac{2t}{1 - t^2}.

II. Le cercle trigonométrique et la résolution d'équations

1.1. Équation cosinus dans R\mathbb{R}

picture-in-text

cosU=cosV\cos U = \cos V équivaut à dire U=V+k2πU = V + k \cdot 2\pi ou U=V+k2πU = -V + k' \cdot 2\pi, avec kk et kk' dans Z\mathbb{Z}.

Remarque importante :
Pour ce type d’équations, comme pour les suivantes, il ne faut pas oublier l’ensemble dans lequel les solutions sont demandées. Il convient de ne choisir que les valeurs de kk et kk' permettant aux solutions d’appartenir à l’ensemble imposé par l’énoncé.

2.2. Équation sinus dans R\mathbb{R}

picture-in-text

sinU=sinV\sin U = \sin V équivaut à dire U=V+k2πU = V + k \cdot 2\pi ou U=πV+k2πU = \pi - V + k' \cdot 2\pi, avec kk et kk' dans Z\mathbb{Z}.

3.3. Équation tangente dans R\mathbb{R}

picture-in-text

tanU=tanV\tan U = \tan V équivaut à dire U=V+kπU = V + k \cdot \pi, avec kk dans Z\mathbb{Z}.

Merci à Malou pour l'élaboration de cette fiche