Exponentielle et cosinus, suite géométrique et tangentes

1. a) Montrons que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0; +\infty[$, $-\text{e}^{-x} \leq f(x) \leq \text{e}^{-x}$ :

Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0; +\infty[$, nous avons : $-1 \le \cos(4x) \leq 1$

Ainsi comme pour tout réel $x$, $\text e^{-x} \ge 0$ : $-\text e^{-x} \le f(x) \leq \text e^{-x}$

1. b) Déduisons-en la limite de $f$ en $+\infty$ :

$\displaystyle\lim\limits_{x \to +\infty} ~ \text e^{-x} = 0$

D'après le théorème des encadrements, nous avons : $\displaystyle\lim\limits_{x \to +\infty} ~ f(x) = 0$

2. Déterminons les coordonnées des points communs aux courbes $\Gamma$ et $\mathscr{C}$ :

Cherchons, si elles existent, les solutions de l'équation : $\text e^{-x} \cos(4x) = \text e^{-x}$

(On suppose donc qu'il existe $x$ un réel solution).

C'est-à-dire :

$\text e^{-x}(\cos(4x) - 1) = 0$

Or pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ; +\infty[$, $\text e^{-x} > 0$

Donc :

$\cos(4x) - 1 = 0\\ \cos(4x) = 1$

Il existe un entier naturel $k$ (car $x$ est positif) tel que : $4x = 2k\pi$

Conclusion :

Pour tout entier naturel $k$, le réel $\dfrac{k\pi}{2}$ est solution de l'équation $\text e^{-x} \cos(4x) = \text e^{-x}$

Les points d'intersection de $\Gamma$ et $\mathscr{C}$ sont les points d'abscisse $\dfrac{k\pi}{2}$ et d'ordonnée $\text e^{-\frac{k\pi}{2}}$ avec $k$ un entier naturel.

3. a) Montrons que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique :

Pour tout un entier naturel $n$, on a : $u_n = \text e^{- n\frac{\pi}{2}} \cos(4 n\frac{\pi}{2}) = \text e^{- n \frac{\pi}{2}}$

Ainsi pour tout entier naturel $n$, on a : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \text e^{-\frac{\pi}{2}}$

Et par suite, la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\text e^{-\frac{\pi}{2}}$.

3. b) Déduisons-en le sens de variation de la suite $(u_n)$ :

Pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = u_0\left(\text e^{-\frac{\pi}{2}}\right)^{n} = \left(\text e^{-\frac{\pi}{2}}\right)^{n}$

Or $\text e^{-\frac{\pi}{2}} < 1$

Donc la suite $(u_n)$ est décroissante.

Étudions la convergence de la suite $(u_n)$ :

$\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\text e^{-\frac{\pi}{2}}\right)^{n} = 0$

Alors la suite $(u_n)$ converge vers $0$.

4. a) Montrons que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0; +\infty[$, $f'(x) = -\text{e}^{-x} \left[\cos (4x) + 4 \sin (4x)\right]$ :

Les fonctions exponentielles et cosinus sont dérivables sur l'intervalle $[0; +\infty[$. Ainsi pour tout réel $x$ positif :

$f'(x) = -\text e^{-x}\cos(4x) - 4\text e^{-x} \sin(4x) = -\text e^{-x}(\cos(4x) + 4\sin(4x))$

4. b) Déduisons-en que les courbes $\Gamma$ et $\mathscr{C}$ ont même tangente en chacun de leurs points communs :

Soit $n$ un entier naturel, $\cos(4\dfrac{n\pi}{2}) = 1$ et $\sin(4\dfrac{n\pi}{2}) = 0$

$f'(\dfrac{n\pi}{2}) = -\text e^{-\frac{n\pi}{2}} = g'(\dfrac{n\pi}{2})$

De ce fait, $\Gamma$ et $(\mathscr{C})$ ont même tangente en chacun de leurs points communs (les pentes des tangentes sont égales en chacun des points communs).

5. Donnons une valeur approchée à $10^{-1}$ près par excès du coefficient directeur de la droite $\mathscr{T}$ tangente à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$ :

$f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = -\text e^{-\frac{\pi}{2}} \approx -0,2$

Le coefficient directeur de la droite $\mathscr{T}$ tangente à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$ est $-0,2$.

Complétons le graphique, en y traçant $\mathscr{T}$ et $\mathscr{C}$ :