Suites et intégrales

1. a)
   $u_2 = u_1+\frac{1}{2} = 1+\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$u_3 = u_2+\frac{1}{3} = \frac{3}{2}+\frac{1}{3} = \frac{11}{6}$

$u_4 = u_3+\frac{1}{4} = \frac{11}{6}+\frac{1}{4} = \frac{25}{12}$

1. b)
   On veut démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$.

$u_1 = 1$ et $\displaystyle\sum_{k=1}^1 \frac{1}{k} = \frac{1}{1} = 1$

donc : $u_1 = \displaystyle\sum_{k=1}^1 \frac{1}{k}$, la propriété est vraie au rang $n = 1$.

Supposons que pour un certain entier naturel $n$, $u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$.

Montrons qu'elle est alors vraie au rang $n+1$.

Montrons que $u_{n+1} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k}$.

$u_{n+1} = u_n + \frac{1}{n+1}$

$u_{n+1} = \displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}+\frac{1}{n+1}$

$u_{n+1} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k}$

La propriété est vraie au rang $n+1$.

Conclusion : pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$.

2. a)
   Pour tout $k \in \mathbb{N}^*$,

$k \le x \le k+1$

$\dfrac{1}{k+1} \le \dfrac{1}{x} \le \dfrac{1}{k}$

$\dfrac{1}{k+1} \displaystyle\int_k^{k+1}1dx \le \displaystyle\int_k^{k+1}\frac{1}{x}dx \le \frac{1}{k} \displaystyle\int_k^{k+1}1dx$

$\dfrac{1}{k+1}[x]_k^{k+1} \le \displaystyle\int_k^{k+1}\dfrac{1}{x}dx \le \dfrac{1}{k}[x]_k^{k+1}$

$\dfrac{1}{k+1}(k+1-k) \le \displaystyle\int_k^{k+1}\dfrac{1}{x}dx \le \dfrac{1}{k}(k+1-k)$

$\dfrac{1}{k+1} \le \displaystyle\int_k^{k+1}\dfrac{1}{x}dx \le \dfrac{1}{k}$

2. b)
   On en déduit que :

$\dfrac{1}{2} \le \displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x}dx \le 1$

$\dfrac{1}{3} \le \displaystyle\int_2^3\dfrac{1}{x}dx \le \dfrac{1}{2}$

...

$\dfrac{1}{n} \le \displaystyle\int_{n-1}^n\dfrac{1}{x}dx \le \dfrac{1}{n-1}$

On additionne membre à membre :

$\displaystyle\sum_{k=2}^n\frac{1}{k} \le \displaystyle\int_1^n\frac{1}{x}dx \le \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}$

$\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k} -1 \le [\ln x]1^n \le \displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\frac{1}{n}$

$u_n-1 \le \ln n - \ln(1) \le u_n-\frac{1}{n}$

Pour tout entier naturel $n \ge 2$, $u_n-1 \le \ln n \le u_n-\dfrac{1}{n}$.

Ainsi :

$-u_n+\dfrac{1}{n} \le -\ln n \le -u_n+1$

$\dfrac{1}{n} \le u_n-\ln n \le 1$

$0 < \dfrac{1}{n} \le v_n \le 1$

Pour tout entier naturel $n \ge 2$, $0 \le v_n \le 1$.

3. a et b)
   Pour tout entier naturel $n$ non nul,

$v_{n+1} - v_n = u_{n+1}-\ln(n+1)-u_n+\ln n$

$v_{n+1}-v_n = \frac{1}{n+1}-\ln(n+1)+\ln n$

$v_{n+1} - v_n = \dfrac{1}{n+1} + \displaystyle\int_{n+1}^n\frac{1}{x}dx$

$v_{n+1} - v_n = \dfrac{1}{n+1} - \displaystyle\int_n^{n+1}\frac{1}{x}dx$

Or d'après 2. a),

$\dfrac{1}{n+1} \le \displaystyle\int_n^{n+1}\frac{1}{x}dx \le \dfrac{1}{n}$

Donc :

$-\dfrac{1}{n} \le -\displaystyle\int_n^{n+1}\frac{1}{x}dx \le -\dfrac{1}{n+1}$

$\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n} \le v_{n+1}-v_n \le 0$

$(v_n)$ est strictement décroissante.

$(v_n)$ est décroissante et minorée par $0$ (d'après 2. b)), donc $(v_n)$ converge.

On note : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = \gamma$.

$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n+\ln n$

$\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\gamma + \ln n$

$\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=+\infty$

$(u_n)$, aussi appelée la série harmonique, diverge.