1. Soit f une fonction continue sur [a;b].
∫aaf(x)dx=0
2. Soit f une fonction continue sur [a;b].
∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx
3. Relation de Chasles : Soit f une fonction continue sur [a;c] et b∈[a;c]
∫acf(x) dx=∫abf(x) dx+∫bcf(x) dx

4. Positivité de l'intégrale
Propriété : Soient a et b deux réels tels que a<b et f une fonction continue sur l’intervalle [a,b], alors :
∘ Si f est positive sur l’intervalle [a,b], alors : ∫abf(x) dx≥0
∘ Si f est négative sur l’intervalle [a,b], alors : ∫abf(x) dx≤0
Attention : La réciproque est fausse en général.Contre-exemple : On a : ∫−122x dx=[x2]−12=3≥0 Mais la fonction x↦2x n’est pas positive sur [−1,2] puisqu’elle est négative sur [−1,0].
5. Linéarité de l'intégrale
Soient a et b deux réels tels que a<b, f et g deux fonctions continues sur l’intervalle [a,b] et k un réel quelconque. On a : ∫ab(f+g)(x) dx=∫abf(x) dx+∫abg(x) dx et ∫abkf(x) dx=k∫abf(x) dx
6. Ordre (croissance de l'intégrale)
Propriété : Soient a et b deux réels tels que a<b et f et g deux fonctions continues sur l’intervalle [a,b] telles que, pour tout x de [a,b] : f(x)≤g(x).Alors : ∫abf(x) dx≤∫abg(x) dx
Remarque : La réciproque est fausse en général.
Exemple : On a, pour tout x appartenant à [1,7] : ex≥x Donc : ∫17x dx≤∫17ex dx
7. Inégalité de la moyenne
Soient a et b deux réels tels que a<b et f une fonction continue sur l’intervalle [a,b] telle qu’il existe m et M de R vérifiant m≤f(x)≤M pour tout x de [a,b] Alors :
m≤b−a1∫abf(x) dx≤M
ou encore : m(b−a)≤∫abf(x) dx≤M(b−a)