Propriétés des intégrales

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1.1. Soit ff une fonction continue sur [a;b][a\,;b].

aaf(x)dx=0\displaystyle\int_a^af(x)\text dx=0

2.2. Soit ff une fonction continue sur [a;b][a\,;b].

abf(x)dx=baf(x)dx\displaystyle\int_a^b f(x)\text dx=-\displaystyle\int_b^a f(x)\text dx

3.3. Relation de Chasles : Soit ff une fonction continue sur [a;c][a\,;c] et b[a;c]b\in [a\,;c]

acf(x) dx=abf(x) dx+bcf(x) dx \begin{aligned}\int_{a}^{c} f(x) \text{ d}x\end{aligned} = \begin{aligned}\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x\end{aligned} +\begin{aligned}\int_{b}^{c} f(x) \text{ d}x\end{aligned}

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4.4. Positivité de l'intégrale

Propriété : Soient a et ba \text{ et } b deux réels tels que a<ba\lt b et ff une fonction continue sur l’intervalle [a,b][a,b], alors :

\circ Si ff est positive sur l’intervalle [a,b][a,b], alors : abf(x) dx0\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x\geq 0

\circ Si ff est négative sur l’intervalle [a,b][a,b], alors : abf(x) dx0\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x\leq 0

Attention : La réciproque est fausse en général.Contre-exemple : On a : 122x dx=[x2]12=30 \displaystyle\int_{-1}^{2} 2x \text{ d}x=\left[x^2\right]_{-1}^2=3\geq 0 Mais la fonction x2xx\mapsto 2x n’est pas positive sur [1,2][-1,2] puisqu’elle est négative sur [1,0][-1,0].

5.5. Linéarité de l'intégrale

Soient a et ba \text{ et } b deux réels tels que a<ba\lt b, f et gf \text{ et } g deux fonctions continues sur l’intervalle [a,b][a,b] et kk un réel quelconque. On a : ab(f+g)(x) dx=abf(x) dx+abg(x) dx \displaystyle\int_{a}^{b} (f+g)(x) \text{ d}x=\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x+\displaystyle\int_{a}^{b} g(x) \text{ d}x et abkf(x) dx=kabf(x) dx \displaystyle\int_{a}^{b} kf(x) \text{ d}x=k\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x

6.6. Ordre (croissance de l'intégrale)

Propriété : Soient a et ba \text{ et } b deux réels tels que a<ba\lt b et f et gf \text{ et } g deux fonctions continues sur l’intervalle [a,b][a,b] telles que, pour tout x de [a,b] : f(x)g(x)x \text{ de } [a,b]\text{ : }f(x)\leq g(x).Alors : abf(x) dxabg(x) dx\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x\leq \displaystyle\int_{a}^{b} g(x) \text{ d}x

Remarque : La réciproque est fausse en général.

Exemple : On a, pour tout xx appartenant à [1,7] : exx[1,7]\text{ : } e^x\geq x Donc : 17x dx17ex dx\displaystyle \int_{1}^{7} x \text{ d}x\leq \displaystyle \int_{1}^{7} e^x \text{ d}x

7.7. Inégalité de la moyenne

Soient a et ba \text{ et } b deux réels tels que a<ba\lt b et ff une fonction continue sur l’intervalle [a,b][a,b] telle qu’il existe m et M de Rm \text{ et } M \text{ de } \mathbb{R} vérifiant mf(x)M pour tout x de [a,b] m\leq f(x)\leq M \text{ pour tout } x \text{ de } [a,b] Alors :

m1baabf(x) dxMm\leq \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x\leq M

ou encore : m(ba)abf(x) dxM(ba)m(b-a)\leq \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x\leq M(b-a)