Le raisonnement par récurrence : des exemples de rédaction

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Cette fiche présente deux exemples rédigés de démonstration par récurrence, comme il est attendu en terminale.

Exemple 1 :

Reprenons l'exemple traité pas à pas dans la fiche "un exemple expliqué pas à pas" pour en donner désormais une rédaction.

Soit à montrer par récurrence que :
$\text{ Pour tout }n\in\mathbb{N}\text{ : } 0+1+2+\cdots+n= \dfrac{n(n+1)}{2}$

Rédaction de la résolution :

Montrons par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N} : 0+1+2+\cdots+n= \dfrac{n(n+1)}{2}$.
Notons pour cela : $\mathcal{P}(n) : 0+1+2+\cdots+n= \dfrac{n(n+1)}{2}$.

Initialisation :
Pour $n=0 : \dfrac{0(0+1)}{2}=0$, donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité :
Soit $k$ un entier naturel et supposons que $\mathcal{P}(k)$ est vraie.

$\circ\quad$ Hypothèse : $\mathcal{P}(k) : 0+1+2+\cdots+k= \dfrac{k(k+1)}{2}$.

$\circ\quad$ Résultat à prouver : $\mathcal{P}(k+1) : 0+1+2+\cdots+k+(k+1)= \dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$.

On a :
$0+1+2+\cdots+(k+1)=0+1+2+\cdots+k+(k+1)=\dfrac{k(k+1)}{2} + (k+1)=\dfrac{k(k+1)+2(k+1)}{2} =\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$

On en déduit que $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Conclusion :
On conclut par récurrence que : $\boxed{\text{ Pour tout }n\in\mathbb{N} : 0+1+2+\cdots+n= \dfrac{n(n+1)}{2}}$.

Exemple 2 : une récurrence pour une suite numérique

Soit une suite $(U_n)$ avec $n\in\mathbb{N}$ définie par :

$\left\lbrace\begin{matrix}U_0=7\\ U_{n+1}=2u_n+5\end{matrix}\right.$

Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N} : 7\le U_n$.

Rédaction de la résolution :

Montrons par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N} : 7\leq U_n$.

On pose $\mathcal{P}(n) : 7\leq U_n$.

Initialisation :
Pour $n=0$, on a : $U_0=7\geq 7$.
La proposition $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité :
Soit $k$ un entier naturel et supposons que $\mathcal{P}(k)$ est vraie.
Montrons que dans ce cas, $\mathcal{P}(k+1)$ l'est aussi.

$\circ\quad$ Hypothèse : $\mathcal{P}(k) : 7 \le U_k$.

$\circ\quad$ Résultat à prouver : $\mathcal{P}(k+1) : 7\leq U_{k+1}$.

On a $7 \le U_k$.
Donc $19\le 2U_{k}+5$.
Donc $19 \le U_{k+1}$.

Or, puisque $7\le 19$, on a : $7 \le U_{k+1}$.
Cela veut dire que $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Conclusion :
On conclut par récurrence que : $\boxed{\text{ Pour tout entier }n : U_n\geq 7}$.

_{Merci à Panter pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche}