Généralités sur les limites de suite

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Prérequis : Tu auras besoin, dans ce chapitre, d'avoir bien compris le fonctionnement des suites (définie par récurrence ou explicitement), de savoir utiliser les suites arithmétiques et géométriques.

Enjeu : En complétant les notions vues en 1^re, on va fournir des résultats sur le comportement en $+\infty$ des suites. Ces résultats seront une première étape dans l'étude des limites de fonctions. Il est donc très important d'avoir bien compris ce chapitre.

I- Limite d'une suite

$1.$ Convergence de suite

Lorsqu'on calcule les différents termes d'une suite, on a parfois l'impression que les valeurs semblent tendre vers une valeur particulière, parfois non. Le but de cette partie est de fournir une base théorique à cette notion de valeur limite.

Définition : On dit qu'une suite $\left(u_n\right)$ tend vers un nombre réel $\ell$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un rang donné. Autrement dit, pour tout réel $\varepsilon > 0$, on peut trouver un rang $n_0$ tel que, pour tout entier $n \geq n_0$, on a :
$\ell - \varepsilon \lt u_n \lt \ell + \varepsilon \iff u_n \in ] \ell - \varepsilon ; \ell + \varepsilon [$

On dit alors que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\ell$ et on note $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n =\ell$.

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont aussi proches de $\ell$ qu'on le souhaite.

Propriété : Si une suite $(u_n)$ a pour limite le réel $\ell$, alors cette limite est unique.
Remarque : $\forall \varepsilon \gt 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_0, |u_n - \ell| \lt \varepsilon$

Propriétés :
i) $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$
ii) $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$
iii) $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = 0$
iv) Plus généralement, pour $k \in \mathbb{N}^*$ : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0$

$2.$ Divergence d’une suite

Définition :
Une suite divergente est une suite qui ne converge pas.

Définition :
Une suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ lorsque, pour tout réel $A > 0$, l’intervalle ${[A ; +\infty[}$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

Autrement dit, pour tout réel $A$, on peut trouver un rang $n_0$ tel que, pour tout entier $n \geq n_0$, on a : $u_n \geq A$.

On note : $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n = +\infty$

Propriétés :

i) $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} n=+\infty$

ii) $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$

iii) $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$

iv) Plus généralement, pour $k \in \mathbb{N}^*$ : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n^k = +\infty$

Autre cas de suite dite divergente :

Définition :
Soit $(u_n)$ une suite. Si les termes de $(u_n)$ se dispersent, on dit que $(u_n)$ n’a pas de limite. On dit qu’elle diverge.

Exemple :
$u_n = (-1)^n$

Remarque : Il existe deux façons de diverger : les termes de la suite se rapprochent d'un infini ou la suite n'a vraiment pas de limite (exemple de la suite alternée $(u_n)$ avec $u_n=(-1)^n$).