Une suite d'intégrales

1. Étude de la fonction $f(x)=x^2 e^{1-x}$

1.a) Limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$

Déterminons les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

En $-\infty$ :

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (1-x) = +\infty$

Donc $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} e^{1-x} = +\infty$

D'où $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$

En $+\infty$ :

Pour tout réel $x$, $f(x) = x^2 e^{1-x} = x^2 e , e^{-x} = e x^2 e^{-x}$

Or $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x} = 0$

Donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$

On peut donc en déduire que la droite d'équation $y=0$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$.

1.b) Dérivabilité et dérivée

La fonction $x \mapsto x^2$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Les fonctions $x \mapsto 1-x$ et $x \mapsto e^x$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$.

Donc par composition, la fonction $x \mapsto e^{1-x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Par produit de fonctions dérivables, la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Dérivons $f$ :

Pour tout réel $x$,

$f'(x)=2x e^{1-x}+x^2(-1)e^{1-x}$

$f'(x)=(2x-x^2)e^{1-x}$

$f'(x)=x(2-x)e^{1-x}$

1.c) Tableau de variations

Pour tout réel $x$, $e^{1-x}>0$.

Donc le signe de $f'(x)$ est celui de $x(2-x)$.

$f'(x)=0 \Longleftrightarrow x=0$ ou $x=2$

$x(2-x)\ge 0 \Longleftrightarrow x \in [0~;~2]$

$x(2-x)\le 0 \Longleftrightarrow x \in ]-\infty~;~0] \cup [2~;~+\infty[$

Donc

$f$ est croissante sur $[0~;~2]$

$f$ est décroissante sur $]-\infty~;~0] \cup [2~;~+\infty[$

$f(0)=0$

$f(2)=\dfrac{4}{e}$

Tableau de variations :

$\begin{array}{|c|lcccccr|} \hline x & -\infty && 0 && 2 && +\infty \\ \hline f'(x) && - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & +\infty & \searrow && \nearrow &{\frac 4e}& \searrow \\ &&& 0 && && 0 \\ \hline \end{array}$

2. Étude des intégrales $\mathrm{I}_n$

2.a) Relation entre $\mathrm{I}_{n+1}$ et $\mathrm{I}_n$

On a $\mathrm{I}_{n+1}=\displaystyle \int_0^1 x^{n+1}e^{1-x}~dx$

On pose $u(x)=x^{n+1}$ et $v'(x)=e^{1-x}$

Alors $u'(x)=(n+1)x^n$ et $v(x)=-e^{1-x}$, toutes quatre dérivables et continues

Par intégration par parties :

$\mathrm{I}_{n+1}=[uv]_0^1-\displaystyle\int_0^1 u'v$

$\mathrm{I}_{n+1}=[-x^{n+1}e^{1-x}]_0^1+(n+1)\displaystyle \int_0^1 x^n e^{1-x},dx$

$\mathrm{I}_{n+1}=-1^{n+1}e^0+0+(n+1)\mathrm{I}_n$

Donc $\mathrm{I}_{n+1}=-1+(n+1)\mathrm{I}_n$

2.b) Calcul de $\mathrm{I}_1$ et $\mathrm{I}_2$

$\mathrm{I}_1=\displaystyle \int_0^1 x e^{1-x},dx$

Intégration par parties avec

$u(x)=x$, $u'(x)=1$

$v'(x)=e^{1-x}$, $v(x)=-e^{1-x}$ (toutes quatre dérivables et continues)

$\mathrm{I}_1=[-xe^{1-x}]_0^1+\displaystyle \int_0^1 e^{1-x}~dx$

$\mathrm{I}_1=-1-e^0+e^1$

Donc $\mathrm{I}_1=\boxed{e-2}$

Relation de récurrence :

$\mathrm{I}_2=-1+2\mathrm{I}_1$

$\mathrm{I}_2=-1+2(e-2)$

$\mathrm{I}_2=2e-5$

2.c) Interprétation graphique

$\mathrm{I}_2$ représente l’aire (en unité d’aire) comprise entre l’axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $x=1$.

3. Encadrement et limite

3.a) Inégalité

Sur $[0~;~1]$ : $0 \le x \le 1$

Donc $0 \le 1-x \le 1$

La fonction exponentielle étant croissante : $1 \le e^{1-x} \le e$

Donc $x^n \le x^n e^{1-x} \le e x^n$

3.b) Encadrement de $\mathrm{I}_n$

En intégrant : (avec $0 < 1$ )

$\displaystyle \int_0^1 x^n dx \le \mathrm{I}_n \le \int_0^1 e x^n dx$

$\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1 \le \mathrm{I}_n \le \left[\dfrac{e x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1$

Donc

$\dfrac{1}{n+1} \le \mathrm{I}_n \le \dfrac{e}{n+1}$

Or $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n+1}=0$

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{e}{n+1}=0$

Donc, par le théorème des gendarmes : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \mathrm{I}_n = 0$