Apprendre à utiliser des symboles importants dans le raisonnement par récurrence

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Les symboles somme $\sum$ et produit $\prod$

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I- Symbole $\sum$

Le symbole mathématique $\sum$ permet d'exprimer plus simplement des sommes et donc des expressions mathématiques.

Par exemple, la somme $0+1+\cdots +10$ peut s'écrire :
$0+1+⋯+10=\displaystyle\sum_{k=0}^{10}​k$
Ce terme se lit "somme pour $k$ allant de 0 à 10 de $k$".
Cela signifie que l'on fait prendre au nombre $k$ toutes les valeurs entières entre 0 et 10 et qu'on fait la somme des nombres $k$ :

On met la première valeur entière en bas du symbole, dans notre cas c'est 0.

On met la dernière valeur entière en haut du symbole, ici c'est 10.

La lettre $k$ est muette, elle ne sert qu'à compter et n'intervient pas dans le résultat final. On peut la remplacer par n'importe quelle autre variable $i, j, \cdots$ (on évite l'utilisation des lettres déjà utilisées dans l'exercice) :

$\displaystyle\sum_{k=0}^{10}​k=\displaystyle\sum_{i=0}^{10}​i=\displaystyle\sum_{j=0}^{10}​j$

Prenons la somme du premier exemple du paragraphe précédent. On pouvait écrire :

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}k =0+1+2+\cdots+n$

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n+1}k =0+1+2+\cdots+n+(n+1)$

Autres exemples :

$\displaystyle \sum_{k=1}^{3}\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{6+3+2}{6}=\dfrac{11}{6}$

$\displaystyle \sum_{p=0}^{n}2p =$

$=(2\times 0)+(2\times 1)+(2\times 2)+(2\times3)$

$\phantom{=}+\cdots+[2\times(n-1)]+(2\times n)$

$= 0+2+4+6+8+\cdots 2n$

$\displaystyle \sum_{j=0}^{n}2j+1=$

$=(2\times 0+1)+(2\times 1+1)+(2\times 2+1)$

$\phantom{=}+(2\times 3+1)+\cdots+[2\times(n-1)+1]$

$\phantom{=}+(2\times n+1)$

$= 1+3+5+7+\cdots 2n+1$

Remarque : Dans l'exemple 1, on ne pouvait pas débuter par $k=0$ car le dénominateur ne peut pas être nul.

II- Symbole $\prod$

Comme son homologue $\sum$ pour les sommes, le symbole mathématique $\prod$ permet d'exprimer plus simplement des produits. Par exemple, le produit $1\times2\times\cdots \times10$ peut s'écrire :
$1\times 2\times\cdots 10=\displaystyle\prod_{k=1}^{10}k$

Exemples :

$\displaystyle\prod_{k=0}^4 (2k+1)=1\times3\times5\times7\times9=945$

$\displaystyle\prod_{k=2}^n k^2=4\times 9\times \cdots\times n^2$

Remarquer que le produit présenté précédemment : $\displaystyle \prod_{k=1}^{10} \color{black}k=1\times\cdots \times10=10!$

III- Exercice d'application

Énoncé : Montrer que :

$\forall n\in\mathbb{N}\text{ : } \displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Solution :

Montrons par récurrence que :

$\forall n\in\mathbb{N}\text{ : } \displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Notons $\mathcal{P}(n)\text{ : } \displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Il est conseillé d'écrire les termes avec sigma sous forme d'addition :

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^2=0^2+1^2+2^2+\cdots+n^2$

Initialisation :

Pour $n=0$, on a : $\left\lbrace\begin{matrix} \displaystyle\sum_{k=0}^{0}k^2 =0^2 = 0 \\ \\ \dfrac{0\times(0+1)(2\times 0+1)}{6}=0\end{matrix}\right.$

Donc : $\displaystyle\sum_{k=0}^{0}k^2=\dfrac{0\times(0+1)(2\times 0+1)}{6}=0$ et $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité : Soit $p$ un entier de $\mathbb{N}$, supposons que $\mathcal{P}(p)$ est vraie et montrons que $\mathcal{P}(p+1)$ est vraie.

Hypothèse : $\mathcal{P}(p) :\displaystyle\sum_{k=0}^{p}k^2=\dfrac{p(p+1)(2p+1)}{6}$

Résultat à prouver :

$\mathcal{P}(p+1) :\displaystyle\sum_{k=0}^{p+1}k^2=\dfrac{(p+1)(p+2)(2p+3)}{6}$

On a :

$\displaystyle\sum_{k=0}^{p+1}k^2= 0^2+1^2+\cdots+p^2+(p+1)^2$

$=\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{p}k^2\right)+(p+1)^2$

$=\dfrac{p(p+1)(2p+1)}{6} + (p+1)^2$

$= \dfrac{p(p+1)(2p+1)+6(p+1)^2}{6}$

$=\dfrac{(p+1)[p(2p+1)+6(p+1)]}{6}$

$=\dfrac{(p+1)(2p^2+7p+6)}{6}$

Or, on a :

$(p+2)(2p+3)=2p^2+3p+4p+6$

$\phantom{(p+2)(2p+3)}=2p^2+7p+6$

Donc : $\displaystyle\sum_{k=0}^{p+1}k^2=\dfrac{(p+1)(2p^2+7p+6)}{6}$

$=\dfrac{(p+1)(p+2)(2p+3)}{6}$

Cela veut dire que $\mathcal{P}(p+1)$ est vraie.

On conclut par récurrence que :

$\boxed{\forall n\in\mathbb{N}\text{ : } \displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$

Merci à Panter pour avoir participé à l'élaboration de cette fiche