Programmes de calcul et équations

Exercice 1

$\boxed{\begin{array}{l} \text{Programme de calcul :} \\ \bullet \text{ Choisir un nombre de départ}\\ \bullet \text{ Ajouter }1\\ \bullet \text{ Calculer le carré du résultat obtenu}\\ \bullet \text{ Lui soustraire le carré du nombre de départ}\\ \bullet \text{ Écrire le résultat final}\\ \end{array}}$

• a) Le nombre de départ est 1.
  On ajoute 1 : $1 + 1 = 2$
  On calcule le carré du résultat obtenu : $2^2 = 4$
  On lui soustrait le carré du nombre de départ : $4 - 1^2 = 3$
  Le résultat final est bien 3.
  👉 Vérifie toujours chaque étape du programme de calcul pour éviter les erreurs d’ordre des opérations.

• b) Le nombre de départ est 2.
  On lui ajoute 1 : $2 + 1 = 3$
  On calcule le carré du résultat obtenu : $3^2 = 9$
  On lui soustrait le carré du nombre de départ : $9 - 2^2 = 9 - 4 = 5$
  Lorsque le nombre de départ est 2, on obtient 5.
  👉 Pense à bien effectuer le carré avant la soustraction : la priorité des opérations est essentielle.

• c) Le nombre de départ est $x$.
  On ajoute 1 : $x + 1$
  On calcule le carré du résultat obtenu : $(x + 1)^2$
  On lui soustrait le carré du nombre de départ : $(x + 1)^2 - x^2$
  Le résultat final s’écrit : $(x+1)^{2}-x^{2}$.
  👉 Garde la même logique que pour les nombres : le calcul reste valable pour toute valeur de $x$.

• Développons puis réduisons $P$ :
  $P = (x+1)^2 - x^2$

• $P=(x+1)(x+1)-x^2$
  $P = x^2 + x+x+ 1^2 - x^2$
  $P = 2x + 1$
  👉 Supprime les termes identiques pour simplifier correctement ton expression.

• On veut un nombre de départ $(x)$ tel que le résultat final $(2x+1)$ soit égal à 15. Résolvons l’équation :
  $2x + 1 = 15$
  $2x = 15 - 1$
  $2x = 14$
  $x = \dfrac{14}{2}$
  $x = 7$
  Pour que le résultat final soit égal à 15, il faut choisir 7 comme nombre de départ.
  👉 Termine toujours par une phrase de conclusion pour répondre clairement à la question.

Exercice 2

• Il s'agit de remplacer $x$ par sa valeur (ici 5) dans les expressions données.
  $A = (x - 5)^2 = (5 - 5)^2 = \fbox{0}$
  $B = x^2 - 10x + 25 = 5^2 - 10 \times 5 + 25 = 25 - 50 + 25 = \fbox{0}$
  👉 Remplace toujours soigneusement chaque $x$ par sa valeur avant de calculer pour éviter les erreurs de signe.

• Idem, sauf qu'ici il faut remplacer $x$ par $-1$...
  $A = (x - 5)^2 = (-6)^2 = \fbox{36}$
  $B = x^2 - 10x + 25 = (-1)^2 - 10 \times (-1) + 25 = 1 + 10 + 25 = \fbox{36}$
  👉 N’oublie pas les parenthèses autour des nombres négatifs avant de les mettre au carré.

• Pour se convaincre, on développe l’expression de $A$.
  $A = (x - 5)^2$

  $A= (x-5)(x-5)$

  $A=x^2 - 5 \times x -5\times x +5^2 = x^2 - 10x + 25 = B$
  On peut donc affirmer que $A = B$ quelle que soit la valeur de $x$.
  👉 Retiens que développer permet souvent de montrer l’égalité de deux expressions.

Exercice 3

$\boxed{\begin{array}{l} \text{Programme de calcul :} \\ \bullet \text{ Choisir un nombre de départ} \\ \bullet \text{ Multiplier ce nombre par }(-2) \\ \bullet \text { Ajouter }5\text{ au produit} \\ \bullet \text{ Multiplier le résultat par }5 \\ \bullet \text{ Écrire le résultat obtenu} \\ \end{array}}$

1. a) Nombre de départ : $2$
   Multiplier par $(-2)$ : $-2\times 2=-4$
   Ajouter $5$ : $-4+5=1$
   Multiplier par $5$ : $1\times 5=5$
   Résultat : $5$
   👉 Suis l’ordre exact du programme (multiplier, puis ajouter, puis multiplier) avant de conclure.

2. b) Nombre de départ : $3$
   Multiplier par $(-2)$ : $-2\times 3=-6$
   Ajouter $5$ : $-6+5=-1$
   Multiplier par $5$ : $-1\times 5=-5$
   Résultat : $-5$
   👉 Encadre mentalement chaque étape : calcule d’abord le produit, puis l’addition, enfin le dernier produit.

3. Nombre de départ $x$
   Après multiplication par $(-2)$ : $-2x$
   Après ajout de $5$ : $-2x+5$
   Après multiplication par $5$ : $5(-2x+5)=-10x+25$
   On veut un résultat $0$ : $-10x+25=0\;\Rightarrow\;-10x=-25\;\Rightarrow\;x=\dfrac{5}{2}$
   👉 Pose l’équation directement sur l’expression finale $-10x+25$ pour aller droit au but.

4. Arthur prétend que l’expression $(x-5)^2-x^2$ donne le résultat du programme.
   Développons :

   $(x-5)^2-x^2 = (x-5)(x-5)-x^2$

   $= x^2-5x-5x+25 - x^2 = -10x+25$
   Or le programme donne aussi $-10x+25$. L’égalité est vérifiée : Arthur a raison.
   👉 Pense à développer et à supprimer les termes identiques ($x^2$) pour comparer deux expressions.