Résoudre une équation du premier degré

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Leçon de la leçon

Vert : définitions

I. Rappels de cours

1) Résoudre une équation

Résoudre une équation, c’est trouver la ou les valeurs de l’inconnue (souvent désignée par x) vérifiant l’équation.

On obtient ainsi la ou les solutions de l’équation.

2) Équation produit

 Une équation produit est une équation de la forme (ax b)(cx + d) = 0, où a, b, c et d sont donnés et xest l’inconnue.

 Pour la résoudre, on utilise le théorème suivant :

Si un produit de facteurs est nul, alors l’un au moins des facteurs est nul. Ou encore, si A×B=0, alors A=0 ou B=0.

II. Méthodes

1) Résoudre une équation du type ax + b = 0

Résoudre les équations suivantes :

a. 3x+1=0 b. 5x=0 c. 5−2(− 2x+3)+[4−2(x+2)]=9

Conseils

Si aucune factorisation n’est possible, alors il peut être utile de :

1. développer les produits dans les deux membres 

2. regrouper les termes relatifs à l’inconnue dans un membre et les termes connus dans l’autre membre 

3. simplifier afin d’obtenir une équation de la forme ax=b.

Si a≠0, alors l’équation admet x=ba pour solution.

Solution

a. 3x+1=0 ou encore 3x=− 1, soit x=− 13.

b. La solution est x=0.

c. Développons puis réduisons :

5+4x−6+4−2x−4=9

4x−2x=9−5+6, soit 2x=10.

Conclusion : 5 est la solution de l’équation.

Attention

N’oublie pas de vérifier les résultats obtenus !

2) Résoudre une équation produit

Résoudre les équations suivantes :

a. (− 3x+4)(2x+9)=0

b. (5x−3)2−4x(5x−3)=0

c. (− 7x+9)2−(2x−3)2=0

Conseils

Factorise afin d’obtenir un produit de facteurs nul.

Solution

a. Puisque nous avons un produit de facteurs nul, alors l’un au moins des facteurs est nul, donc : − 3x+4=0, soit x=43, ou bien 2x+9=0, soit x=−92.

Conclusion : les solutions de l’équation sont − 92 et 43.

b. Nous pouvons mettre (5x−3) en facteur :(5x−3)[(5x−3)−4x]=0(5x−3)(x−3)=0

Puisque nous avons un produit de facteurs nul, alors l’un au moins des facteurs est nul. Donc : 5x−3=0, soit x=35,

ou bien x−3=0, soit x=3.

Conclusion : les solutions de l’équation sont 35 et 3.

c. En utilisant l’identité remarquable a2−b2=(a+b)(a−b) avec a = – 7x + 9 et b = 2x – 3, on obtient :

[(− 7x+9)+(2x−3)][(− 7x+9)−(2x−3)]=0

ou encore, après simplification, (− 5x+6)(− 9x+12)=0.

Puisque nous avons un produit de facteurs nul, alors l’un au moins des facteurs est nul.

Donc : − 5x+6=0, soit x=65,

ou bien − 9x+12=0, soit x=43.

Conclusion : les solutions de l’équation sont donc 65 et 43.