Rappels de cours

1 Résoudre une équation

Résoudre une équation, c’est trouver la ou les valeurs de l’inconnue (souvent désignée par $x$ ) vérifiant l’équation.

On obtient ainsi la ou les solutions de l’équation.

2 Équation produit

Une équation produit est une équation de la forme (ax + b)(cx + d) = 0, où a, b, c et d sont donnés et xest l’inconnue.

Pour la résoudre, on utilise le théorème suivant :

théorèmeSi un produit de facteurs est nul, alors l’un au moins des facteurs est nul. Ou encore, si $A \times B = 0$ , alors $A = 0$ ou $B = 0$ .

Méthodes

Résoudre une équation du type ax + b = 0

Résoudre les équations suivantes :

a. $3 x + 1 = 0$ b. $5 x = 0$ c. $5 - 2 (- 2 x + 3) + [4 - 2 (x + 2)] = 9$

Repère
conseils
Si aucune factorisation n’est possible, alors il peut être utile de :
1. développer les produits dans les deux membres
2. regrouper les termes relatifs à l’inconnue dans un membre et les termes connus dans l’autre membre
3. simplifier afin d’obtenir une équation de la forme $a x = b$ .
Si $a \neq 0$ , alors l’équation admet $x = \frac{b}{a}$ pour solution.

Repère
Solution
a. $3 x + 1 = 0$ ou encore $3 x = - 1$ , soit $x = - \frac{1}{3}$ .
b. La solution est $x = 0$ .
c. Développons puis réduisons :
$5 + 4 x - 6 + 4 - 2 x - 4 = 9$
$4 x - 2 x = 9 - 5 + 6$ , soit $2 x = 10$ .
Important !  N’oubliez pas de vérifier les résultats obtenus !
Conclusion : 5 est la solution de l’équation.

Résoudre une équation produit

Résoudre les équations suivantes :

a. $(- 3 x + 4) (2 x + 9) = 0$

b. ${(5 x - 3)}^{2} - 4 x (5 x - 3) = 0$

c. ${(- 7 x + 9)}^{2} - {(2 x - 3)}^{2} = 0$

Repère
conseils
Factorisez afin d’obtenir un produit de facteurs nul.

Repère
Solution
a. Puisque nous avons un produit de facteurs nul, alors l’un au moins des facteurs est nul, donc : $- 3 x + 4 = 0$ , soit $x = \frac{4}{3}$ , ou bien $2 x + 9 = 0$ , soit $x = - \frac{9}{2}$ .
Conclusion : les solutions de l’équation sont $- \frac{9}{2}$ et $\frac{4}{3}$ .
b. Nous pouvons mettre $(5 x - 3)$ en facteur : $\begin{matrix} (5 x - 3) [(5 x - 3) - 4 x] = 0 \\ (5 x - 3) (x - 3) = 0 \end{matrix}$
Puisque nous avons un produit de facteurs nul, alors l’un au moins des facteurs est nul. Donc : $5 x - 3 = 0$ , soit $x = \frac{3}{5}$ ,
ou bien $x - 3 = 0$ , soit $x = 3$ .
Conclusion : les solutions de l’équation sont $\frac{3}{5}$ et 3.
c. En utilisant l’identité remarquable $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ avec a = – 7x + 9 et b = 2x – 3, on obtient :
$[(- 7 x + 9) + (2 x - 3)] [(- 7 x + 9) - (2 x - 3)] = 0$
ou encore, après simplification, $(- 5 x + 6) (- 9 x + 12) = 0$ .
Puisque nous avons un produit de facteurs nul, alors l’un au moins des facteurs est nul.
Donc : $- 5 x + 6 = 0$ , soit $x = \frac{6}{5}$ ,
ou bien $- 9 x + 12 = 0$ , soit $x = \frac{4}{3}$ .
Conclusion : les solutions de l’équation sont donc $\frac{6}{5}$ et $\frac{4}{3}$ .

Résoudre une équation du premier degré