Résolution d'équations

Exercice 1

On utilise la propriété du produit nul :

Si $ab=0$, alors $a=0$ ou $b=0$.

A : $(x-4)(x+1)=0$

Donc :

$x-4=0$ ou $x+1=0$

$x=4$ ou $x=-1$

👉 Conseil : ne mélange pas les deux équations, résous-les séparément.

B : $(3x-2)(x+5)=0$

$3x-2=0$ ou $x+5=0$

$3x=2$ donc $x=\dfrac{2}{3}$

ou

$x=-5$

👉 Conseil : quand il y a un coefficient devant $x$, isole-le proprement.

C : $(2x+7)(5x-3)=0$

$2x+7=0$ ou $5x-3=0$

$x=-\dfrac{7}{2}$

ou

$x=\dfrac{3}{5}$

Exercice 2

On reconnaît ici des différences de deux carrés.

A : $(x-3)(x+3)=0$

$x-3=0$ ou $x+3=0$

$x=3$ ou $x=-3$

👉 Conseil : c’est directement une identité remarquable.

B : $9x^2-16=0$

On reconnaît :

$9x^2-16=(3x)^2-4^2$

Donc :

$(3x-4)(3x+4)=0$

$3x-4=0$ ou $3x+4=0$

$x=\dfrac{4}{3}$ ou $x=-\dfrac{4}{3}$

👉 Conseil : pense toujours à écrire la factorisation avant d’appliquer le produit nul.

C : $25x^2-1=0$

$25x^2-1=(5x)^2-1^2$

Donc :

$(5x-1)(5x+1)=0$

$x=\dfrac{1}{5}$ ou $x=-\dfrac{1}{5}$

Exercice 3

A : $(x-2)(x+5)=0$

$x=2$ ou $x=-5$

B : $(x-2)(x+5)-(x-2)=0$

On met $(x-2)$ en facteur.

$(x-2)(x+5)-(x-2)=(x-2)\big((x+5)-1\big)$

$(x-2)(x+4)=0$

Donc :

$x-2=0$ ou $x+4=0$

$x=2$ ou $x=-4$

👉 Conseil : quand tu vois la même parenthèse deux fois, pense à factoriser avant de résoudre.

C : $(3x-1)^2-9=0$

On reconnaît une différence de deux carrés.

$(3x-1)^2-3^2=0$

$(3x-1-3)(3x-1+3)=0$

$(3x-4)(3x+2)=0$

$3x-4=0$ ou $3x+2=0$

$x=\dfrac{4}{3}$ ou $x=-\dfrac{2}{3}$

👉 Conseil : attention à bien écrire $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

Exercice 4

A : $(2x-5)^2-4=0$

$(2x-5)^2-2^2=0$

$(2x-5-2)(2x-5+2)=0$

$(2x-7)(2x-3)=0$

$x=\dfrac{7}{2}$ ou $x=\dfrac{3}{2}$

B : $(x+3)(x-4)+2(x+3)=0$

On met $(x+3)$ en facteur.

$(x+3)(x-4)+2(x+3)=(x+3)\big((x-4)+2\big)$

$(x+3)(x-2)=0$

$x=-3$ ou $x=2$

👉 Conseil : la clé est toujours de transformer l’équation en produit nul avant de résoudre.