Produit scalaire (6)

Exercice 1

1. D’après le théorème de la médiane on a $MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}$

Par conséquent
$MA^2+MB^2=50$

$\iff 2MI^2+\dfrac{36}{2}=50$

$\iff 2MI^2+18=50$

$\iff MI^2+9=25$

$\iff MI^2=16$

$\iff MI=4$

L’ensemble cherché est donc le cercle de centre $I$ et de rayon $4$.

2. D’après le théorème de la médiane on a $MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}$

Par conséquent
$MA^2+MB^2=18$

$\iff 2MI^2+\dfrac{36}{2}=18$

$\iff 2MI^2+18=18$

$\iff MI^2=0$

$\iff MI=0$

L’ensemble cherché ne contient donc que le point $I$.

3. D’après le théorème de la médiane on a $MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}$

Par conséquent
$MA^2+MB^2=10$

$\iff 2MI^2+\dfrac{36}{2}=10$

$\iff 2MI^2+18=10$

$\iff MI^2+9=5$

$\iff MI^2=-4$

L’ensemble cherché est donc vide.

Exercice 2

1. On appelle $I$ le milieu de $[AB]$.

Par conséquent $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$

$\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})=0$

$\iff \overrightarrow{AB}.2\overrightarrow{MI}=0$

$\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{MI}=0$

L’ensemble des points cherchés est donc la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $I$, c’est-à-dire la médiatrice de $[AB]$.

2. On appelle $M’$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(AB)$.

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM}=2$

$\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM’}=2$

$\iff AB\times AM’=2$

$\iff AM’=\dfrac{2}{5}$

L’ensemble cherché est donc la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par le point $M’$ appartenant à $[AB]$ tel que $AM’=\dfrac{2}{5}$.

3. $MA^2+MB^2=AB^2$

$\iff MA^2+MB^2=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB})^2$

$\iff MA^2+MB^2=AM^2+MB^2+2\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MB}$

$\iff \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MB}=0$

L’ensemble cherché est donc le cercle de diamètre $[AB]$.