Le produit scalaire pour résoudre un équilibre de forces

👉 Conseil : dans tout l’exercice, il faut penser à deux idées essentielles de la leçon :
d’abord la formule géométrique du produit scalaire avec le cosinus de l’angle, puis la distributivité quand on travaille avec la résultante $\overrightarrow{R}$.

1. a. Exprimer en fonction des angles $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ les produits scalaires $\overrightarrow{F_1}\cdot\overrightarrow{F_2}$, $\overrightarrow{F_2}\cdot\overrightarrow{F_3}$, $\overrightarrow{F_3}\cdot\overrightarrow{F_1}$

Pour répondre à la question « Exprimer en fonction des angles $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ les produits scalaires », on utilise directement la formule du produit scalaire en fonction de l’angle entre deux vecteurs.

On sait que

$||\overrightarrow{F_1}|| = 10$, $||\overrightarrow{F_2}|| = 8$, $||\overrightarrow{F_3}|| = 12$.

$\checkmark$ L’angle entre $\overrightarrow{F_1}$ et $\overrightarrow{F_2}$ est $\alpha$, donc $\overrightarrow{F_1}\cdot\overrightarrow{F_2} = ||\overrightarrow{F_1}|| \times ||\overrightarrow{F_2}|| \times \cos(\alpha)$

d’où $\overrightarrow{F_1}\cdot\overrightarrow{F_2} = 10 \times 8 \times \cos(\alpha) = 80\cos(\alpha)$.

$\checkmark$ De même, l’angle entre $\overrightarrow{F_2}$ et $\overrightarrow{F_3}$ est $\beta$, donc $\overrightarrow{F_2}\cdot\overrightarrow{F_3} = ||\overrightarrow{F_2}|| \times ||\overrightarrow{F_3}|| \times \cos(\beta)$

soit $\overrightarrow{F_2}\cdot\overrightarrow{F_3} = 8 \times 12 \times \cos(\beta) = 96\cos(\beta)$.

$\checkmark$ Enfin, l’angle entre $\overrightarrow{F_3}$ et $\overrightarrow{F_1}$ est $\gamma$, donc $\overrightarrow{F_3}\cdot\overrightarrow{F_1} = ||\overrightarrow{F_3}|| \times ||\overrightarrow{F_1}|| \times \cos(\gamma)$

soit $\overrightarrow{F_3}\cdot\overrightarrow{F_1} = 12 \times 10 \times \cos(\gamma) = 120\cos(\gamma)$.

Donc

$\overrightarrow{F_1}\cdot\overrightarrow{F_2} = 80\cos(\alpha)$

$\overrightarrow{F_2}\cdot\overrightarrow{F_3} = 96\cos(\beta)$

$\overrightarrow{F_3}\cdot\overrightarrow{F_1} = 120\cos(\gamma)$.

👉 Conseil : il faut bien repérer quel angle est associé à quel couple de vecteurs. C’est exactement l’application directe de la formule du produit scalaire vue dans la leçon.

1. b. En déduire en fonction de $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ les produits scalaires $\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{F_2}$, $\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{F_3}$

Pour répondre à la question « En déduire en fonction de $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ les produits scalaires $\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{F_2}$, $\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{F_3}$ », on part de $\overrightarrow{R} = \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3}$.

On utilise alors la distributivité du produit scalaire.

Commençons par $\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{F_1}$ :

$\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{F_1} = (\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3})\cdot\overrightarrow{F_1}$

$\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{F_1} = \overrightarrow{F_1}\cdot\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}\cdot\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_3}\cdot\overrightarrow{F_1}$.

Or

$\overrightarrow{F_1}\cdot\overrightarrow{F_1} = ||\overrightarrow{F_1}||^2 = 10^2 = 100$

et

$\overrightarrow{F_2}\cdot\overrightarrow{F_1} = \overrightarrow{F_1}\cdot\overrightarrow{F_2} = 80\cos(\alpha)$

$\overrightarrow{F_3}\cdot\overrightarrow{F_1} = 120\cos(\gamma)$.

Donc

$\boxed{ \overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{F_1} = 100 + 80\cos(\alpha) + 120\cos(\gamma) }$.

Calculons maintenant $\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{F_2}$ :

$\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{F_2} = (\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3})\cdot\overrightarrow{F_2}$

$\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{F_2} = \overrightarrow{F_1}\cdot\overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_2}\cdot\overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3}\cdot\overrightarrow{F_2}$.

On a

$\overrightarrow{F_1}\cdot\overrightarrow{F_2} = 80\cos(\alpha)$

$\overrightarrow{F_2}\cdot\overrightarrow{F_2} = ||\overrightarrow{F_2}||^2 = 8^2 = 64$

$\overrightarrow{F_3}\cdot\overrightarrow{F_2} = \overrightarrow{F_2}\cdot\overrightarrow{F_3} = 96\cos(\beta)$.

Donc

$\boxed{ \overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{F_2} = 80\cos(\alpha) + 64 + 96\cos(\beta) }$.

Enfin, pour $\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{F_3}$ :

$\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{F_3} = (\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3})\cdot\overrightarrow{F_3}$

$\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{F_1}\cdot\overrightarrow{F_3} + \overrightarrow{F_2}\cdot\overrightarrow{F_3} + \overrightarrow{F_3}\cdot\overrightarrow{F_3}$.

On a

$\overrightarrow{F_1}\cdot\overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{F_3}\cdot\overrightarrow{F_1} = 120\cos(\gamma)$

$\overrightarrow{F_2}\cdot\overrightarrow{F_3} = 96\cos(\beta)$

$\overrightarrow{F_3}\cdot\overrightarrow{F_3} = ||\overrightarrow{F_3}||^2 = 12^2 = 144$.

Donc

$\boxed{\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{F_3} = 120\cos(\gamma) + 96\cos(\beta) + 144 }$.

Ainsi,

$\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{F_1} = 100 + 80\cos(\alpha) + 120\cos(\gamma)$

$\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{F_2} = 80\cos(\alpha) + 64 + 96\cos(\beta)$

$\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{F_3} = 120\cos(\gamma) + 96\cos(\beta) + 144$.

👉 Conseil : ici, le mot-clé de la leçon est vraiment distributivité. Dès qu’un vecteur est défini comme une somme, il faut penser à développer le produit scalaire comme on développe une parenthèse.

2. a. Sachant qu’à l’équilibre, $\overrightarrow{R} = \overrightarrow{0}$, écrire un système de trois équations que doivent vérifier $\cos\alpha$, $\cos\beta$ et $\cos\gamma$

Pour répondre à la question « Sachant qu’à l’équilibre, $\overrightarrow{R} = \overrightarrow{0}$, écrire un système de trois équations », on utilise le fait que si

$\overrightarrow{R} = \overrightarrow{0}$,

alors pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{u} = 0$.

En particulier,

$\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{F_1} = 0$ , $\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{F_2} = 0$ , $\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{F_3} = 0$.

En remplaçant par les expressions trouvées à la question précédente, on obtient :

$100 + 80\cos(\alpha) + 120\cos(\gamma) = 0$

$80\cos(\alpha) + 64 + 96\cos(\beta) = 0$

$120\cos(\gamma) + 96\cos(\beta) + 144 = 0$.

Le système vérifié par $\cos(\alpha)$, $\cos(\beta)$ et $\cos(\gamma)$ est donc :

$\left\lbrace\begin{matrix} 100 + 80\cos(\alpha) + 120\cos(\gamma) = 0 \\ 80\cos(\alpha) + 64 + 96\cos(\beta) = 0 \\ 120\cos(\gamma) + 96\cos(\beta) + 144 = 0 \end{matrix}\right.$

👉 Conseil : à l’équilibre, la résultante est nulle. C’est donc cette information physique qui permet de transformer les formules de produit scalaire en équations.

2. b. En déduire les valeurs approchées à $0{,}1^\circ$ près de $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$

Pour répondre à la question « En déduire les valeurs approchées à $0{,}1^\circ$ près de $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ », on résout le système obtenu.

Posons, pour simplifier, $x = \cos(\alpha)$ , $y = \cos(\beta)$ , $z = \cos(\gamma)$.

Le système devient

$\left\lbrace\begin{matrix} 80x + 120z = -100 \\ 80x + 96y = -64 \\ 96y + 120z = -144 \end{matrix}\right.$

On peut simplifier chaque équation :

$\left\lbrace\begin{matrix} 4x + 6z = -5 \\ 5x + 6y = -4 \\ 4y + 5z = -6 \end{matrix}\right.$

$\checkmark$ Résolvons ce système.

À partir de $5x + 6y = -4$,

on exprime $x$ :

$5x = -4 - 6y$

$x = \dfrac{-4-6y}{5}$.

À partir de $4y + 5z = -6$,

on exprime $z$ :

$5z = -6 - 4y$

$z = \dfrac{-6-4y}{5}$.

On remplace dans la première équation

$4x + 6z = -5$.

Cela donne

$4\times\dfrac{-4-6y}{5} + 6\times\dfrac{-6-4y}{5} = -5$.

On met au même dénominateur :

$\dfrac{-16-24y-36-24y}{5} = -5$

$\dfrac{-52-48y}{5} = -5$.

On multiplie par $5$ :

$-52 - 48y = -25$

$-48y = 27$

$y = -\dfrac{27}{48} = -\dfrac{9}{16}$.

Donc $\boxed{ \cos(\beta) = -\dfrac{9}{16} }$.

On calcule ensuite $x$ :

$x = \dfrac{-4-6\times\left(-\dfrac{9}{16}\right)}{5}$

$x = \dfrac{-4+\dfrac{54}{16}}{5}$

$x = \dfrac{-\dfrac{64}{16}+\dfrac{54}{16}}{5}$

$x = \dfrac{-\dfrac{10}{16}}{5} = \dfrac{-\dfrac{5}{8}}{5} = -\dfrac{1}{8}$.

Donc $\boxed{\cos(\alpha) = -\dfrac{1}{8}}$.

On calcule enfin $z$ :

$z = \dfrac{-6-4\times\left(-\dfrac{9}{16}\right)}{5}$

$z = \dfrac{-6+\dfrac{36}{16}}{5}$

$z = \dfrac{-6+\dfrac{9}{4}}{5}$

$z = \dfrac{-\dfrac{24}{4}+\dfrac{9}{4}}{5}$

$z = \dfrac{-\dfrac{15}{4}}{5} = -\dfrac{15}{20} = -\dfrac{3}{4}$.

Donc $\boxed{ \cos(\gamma) = -\dfrac{3}{4} }$.

$\checkmark$ Il reste à calculer les angles :

$\alpha = \arccos\left(-\dfrac{1}{8}\right) \approx 97{,}2^\circ$

$\beta = \arccos\left(-\dfrac{9}{16}\right) \approx 124{,}2^\circ$

$\gamma = \arccos\left(-\dfrac{3}{4}\right) \approx 138{,}6^\circ$.

À $0{,}1^\circ$ près, on obtient donc

$\alpha \approx 97{,}2^\circ$

$\beta \approx 124{,}2^\circ$

$\gamma \approx 138{,}6^\circ$.

👉 Conseil : quand on trouve les cosinus, il ne faut pas oublier la dernière étape. Le problème demande les angles, donc il faut utiliser la fonction $\arccos$ à la calculatrice, en mode degré.

Vérification finale

On peut vérifier que la somme des trois angles autour de $O$ vaut bien

$\alpha + \beta + \gamma \approx 97{,}2 + 124{,}2 + 138{,}6 = 360{,}0$.

C’est cohérent avec la figure, puisque les trois angles autour du point $O$ forment un tour complet.

👉 Conseil : cette vérification finale est très utile. Elle permet de contrôler que les résultats trouvés sont compatibles avec la géométrie de la situation.

Je récapitule la démarche :

Puisque le système est en équilibre, la résultante des trois forces est nulle, ce qui conduit, grâce à la distributivité du produit scalaire, à un système de trois équations portant sur $\cos(\alpha)$, $\cos(\beta)$ et $\cos(\gamma)$. Après résolution, on obtient :

$\cos(\alpha) = -\dfrac{1}{8}$, $\cos(\beta) = -\dfrac{9}{16}$, $\cos(\gamma) = -\dfrac{3}{4}$.

On en déduit alors, à $0{,}1^\circ$ près :

$\alpha \approx 97{,}2^\circ$, $\beta \approx 124{,}2^\circ$ et $\gamma \approx 138{,}6^\circ$.